Un esercizio elegante tra algebra e analisi

Un esempio didattico di calcolo con le radici di un polinomio, senza conoscerle esplicitamente. La soluzione e i consigli didattici di ChatGpt e una nota storica finale.

Esercizio

Siano \(x_1, x_2, x_3, x_4\) le radici dell’equazione:

\[
x^4 - 14x^3 + 71x^2 - 154x + 120 = 0
\]

Senza risolvere l’equazione, calcolare il valore della seguente espressione:

\[
S = \frac{x_1}{x_1^2 - 1} + \frac{x_2}{x_2^2 - 1} + \frac{x_3}{x_3^2 - 1} + \frac{x_4}{x_4^2 - 1}
\]

✍️ Svolgimento

L’espressione da calcolare è:

\[
S = \sum_{i=1}^4 \frac{x_i}{x_i^2 - 1} = \sum_{i=1}^4 \frac{x_i}{(x_i - 1)(x_i + 1)}
\]

Teniamo conto che, da:

\[
\frac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}
\]

consegue, moltiplicando entrambi i membri per \((x - 1)(x + 1)\):

\[
x = A(x + 1) + B(x - 1) = (A + B)x + (A - B)
\]

Confrontando i coefficienti:
\[
\begin{cases}
A + B = 1 \\
A - B = 0
\end{cases}
\Rightarrow A = B = \frac{1}{2}
\]

Dunque:
\[
\frac{x_i}{(x_i - 1)(x_i + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x_i - 1} + \frac{1}{x_i + 1} \right)
\]

La somma totale diventa:
\[
S = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^4 \frac{1}{x_i - 1} + \sum_{i=1}^4 \frac{1}{x_i + 1} \right)
\]

Formula utile (con giustificazione)

Formula:

\[
\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i - a} = -\frac{P'(a)}{P(a)}
\]

Dove \(P(x)\) è un polinomio con radici \(x_1, \dots, x_n\), e \(a\) non è una radice del polinomio.

Giustificazione:
Sia
\[
P(x) = \prod_{i=1}^n (x - x_i)
\] Allora:
\[
\ln P(x) = \sum_{i=1}^n \ln(x - x_i)
\Rightarrow \frac{d}{dx} \ln P(x) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{x - x_i} = \frac{P'(x)}{P(x)}
\] Sostituendo \(x = a\), si ottiene:
\[
\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i - a} = -\frac{P'(a)}{P(a)}
\]

Applicazione della formula

Il polinomio dato è:
\[
P(x) = x^4 - 14x^3 + 71x^2 - 154x + 120
\] La derivata è:
\[
P'(x) = 4x^3 - 42x^2 + 142x - 154
\]

Calcolo per \(a = 1\)

\[
P(1) = 1 -14 + 71 -154 + 120 = 24 \\
P'(1) = 4 - 42 + 142 - 154 = -50 \\
\Rightarrow \sum \frac{1}{x_i - 1} = -\frac{P'(1)}{P(1)} = -\left( \frac{-50}{24} \right) = \frac{25}{12}
\]

Calcolo per \(a = -1\)

\[
P(-1) = 1 + 14 + 71 + 154 + 120 = 360 \\
P'(-1) = -4 - 42 -142 -154 = -342 \\
\Rightarrow \sum \frac{1}{x_i + 1} = -\frac{P'(-1)}{P(-1)} = -\left( \frac{-342}{360} \right) = \frac{19}{20}
\]

✅ Somma finale

Calcoliamo:
\[
S = \frac{1}{2} \left( \frac{25}{12} + \frac{19}{20} \right)
\]

Troviamo un denominatore comune: 60
\[
\frac{25}{12} = \frac{125}{60}, \quad \frac{19}{20} = \frac{57}{60} \\
S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{125 + 57}{60} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{182}{60} = \frac{91}{60}
\]

Risposta finale

\[
\boxed{S = \frac{91}{60}}
\]

‍ Consigli didattici per l’insegnante

Questo esercizio si presta perfettamente all’uso in classe nel triennio della scuola secondaria di secondo grado, in particolare nelle classi IV e V degli indirizzi liceali e tecnici. Può essere proposto come problema stimolo o come esempio di problem solving non standard.

Obiettivi formativi

• Favorire la comprensione delle proprietà simmetriche delle radici dei polinomi;
• Applicare la scomposizione in frazioni parziali e riconoscerne il valore strategico nel semplificare espressioni complesse;
• Utilizzare con consapevolezza il legame tra polinomio, sue radici e derivata, attraverso la formula:
  \[
  \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i - a} = -\frac{P'(a)}{P(a)}
  \]
• Consolidare la capacità di risolvere problemi senza ricorrere alla risoluzione esplicita delle equazioni.

Competenze attivate

• Ragionamento algebrico e strutturale;
• Abilità nella manipolazione simbolica e nel calcolo frazionario;
• Capacità di passare da un approccio analitico a uno simbolico/teorico;
• Collegamento tra algebra e analisi, in particolare con l’uso della derivata logaritmica.

Proposte di approfondimento in classe

• Chiedere agli studenti di dimostrare la formula
  \[
  \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i - a} = -\frac{P'(a)}{P(a)}
  \] a partire da
  \[
  P(x) = \prod_{i=1}^n (x - x_i)
  \Rightarrow \frac{d}{dx} \ln P(x) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{x - x_i}
  \]
• Proporre esercizi analoghi con:
  \[
  \sum_{i=1}^n \frac{x_i^k}{x_i^2 - 1} \quad \text{o} \quad \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2 - 1}
  \]
• Verificare numericamente il risultato con strumenti CAS (es. GeoGebra, WolframAlpha, Python).

Valore didattico

Un esercizio come questo valorizza la matematica strutturale e teorica, in contrapposizione al calcolo meccanico. Mostra come, con gli strumenti giusti, sia possibile evitare la fatica della risoluzione esplicita e raggiungere la soluzione per via teorica.

Ideale anche come attività per potenziamento, laboratorio o prova assegnata per classi a indirizzo matematico.