Il metodo di Newton per risolvere le equazioni

IL METODO DI NEWTON PER RISOLVERE LE EQUAZIONI
 (Da Analisi Matematica di George B. Thomas, JR. Ross L. Finney. Zanichelli.)

Il metodo consiste nei seguenti procedimenti: 

1.       Congetturare una prima approssimazione a una radice dell’equazione f(x) = 0. Un diagramma di f(x) è d’aiuto.

2.       Usare la prima approssimazione per ottenere una seconda approssimazione, la seconda per ottenere una terza, e così via. Per passare dalla n-esima approssimazione  alla (n+1)-esima approssimazione , si usa la formula

dove è la derivata di f in .

Qual è la teoria su cui si basa questo metodo? E’ la seguente. Si usa la tangente per approssimare il diagramma di y = f(x) in prossimità del punto in cui  è piccola, e si assume che  sia il valore di x in cui la tangente interseca l’asse x. ( Si suppone che il coefficiente angolare  della tangente sia non nullo ). L’equazione della tangente è

Introducendo  e y = 0 nell’equazione (2) e risolvendo rispetto a x, si ottiene

,

ossia, come nell’equazione (1),

Osservazione. Il metodo non può essere applicato se   In questo caso, si sceglie un nuovo punto di partenza. Naturalmente può accadere che f(x) = 0 e  abbiano una radice in comune. Per verificare questa possibilità, prima si dovrebbero trovare le soluzioni di  e poi si dovrebbe controllare il valore di f(x) in tali punti.