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La formula di Brahmagupta


La formula di Brahmagupta per l’area di un quadrilatero inscrittibile in un cerchio.

La formula di cui il quesito chiede di precisare  la validità è nota come  formula di Brahmagupta (matematico indiano del VII secolo).
Essa vale per i quadrilateri inscrittibili in un cerchio e quindi di un quadrilatero di lati a, b, c e d dà l’area massima.

La formula è contenuta nella lista dei risultati più belli.

Del risultato si riporta la seguente giustificazione, chiara e immediata, tratta da  Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi Volume II – Parte 2°:
Tra tutti i quadrangoli convessi di lati a, b, c, d quello inscrittibile in un cerchio ha l’area massima.

Segue dalle formule:

 

 

 le quali danno:

 

sicché il massimo di S si ha quando è minimo cos(b + d), cioè per b + d=180°

 

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