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Nodi e catene deduttive per insegnare geometria

La pedagogia delle limitate catene deduttive per insegnare geometria. Il teorema di Tolomeo e altri nodi di una robusta rete di connessioni logiche.

Il tema dell’insegnamento della geometria elementare ha così tanti anni alle spalle che non è facile, riflettendoci su, imbattersi in osservazioni nuove. In qualcosa, cioè, che non sia stato già detto e ripetuto, con l’eccezione, ovviamente, delle indicazioni suggerite dalle nuove tecnologie. Ad esempio, quelle provenienti dalla possibilità di utilizzare sempre più il computer come matita per disegnare (l’espressione è di Seymour Papert).

Su Matmedia non mancano testimonianze al riguardo.

Tra queste, indicativa anche dell’annosità del tema, quella di Jean-Jacques Rousseau che, tra le altre cose, già allora, non vedeva di buon occhio l’insegnare la geometria seguendo Euclide. Chi lo fa, diceva Rousseau, deve tener presente che in questo modo non insegna a ragionare, ma insegna a ragionare come ragionò Euclide. Insegna la catena di deduzioni costruita da Euclide e convince, chi l’apprende, che la geometria sia proprio quell’insieme ordinato di proposizioni che conseguono l’una dall’altra in quell’ordine che finisce per apparirgli dettato da ragioni ontologiche. Questo vale, ovviamente, per ogni altra sistemazione globale della geometria costruita emulando Euclide.

Ecco, se oggi c’è un accordo sull’insegnamento della geometria, che si riflette anche sugli altri capitoli della matematica, esso riguarda proprio l’educazione alla pluralità delle connessioni e delle inferenze logiche possibili. Qualcosa che si può mettere bene in evidenza con un’attività didattica che già i programmi d’insegnamento del PNI e, più in particolare, i piani di studi Brocca raccomandavano. Un’attività tesa a sviluppare gli aspetti argomentativi e dimostrativi attraverso lo sviluppo di robuste e “limitate” catene deduttive e senza per questo doversi necessariamente riferire ad una prefissata organizzazione globale della disciplina che nella pratica didattica, dovrà costituire il punto di arrivo e non quello di partenza.

Si dovrà cogliere cioè come il frutto della riflessione finale su quanto appreso e si possiede, sui teoremi, e sui ruoli e sull’uso delle definizioni e degli assiomi. Detto diversamente, l’educazione al “se…allora” non comporta necessariamente la disponibilità di una mappa precisa e dettagliata delle conoscenze primarie, ovvero che sono da insegnare per prima.

La questione che segue fa parte della tradizione più ortodossa dell’insegnamento della geometria.

Essa é tratta dalle Questioni per la scuola che riempivano le pagine del Periodico di Matematica dei primi decenni di esistenza del sistema scolastico del Regno d’Italia nato nel 1861, ma si attribuisce generalmente all’olandese Frans Van Schooten (1615 – 1660) noto tra l’altro per essere stato il maestro di Christiaan Huygens.

Si circoscriva un cerchio ad un triangolo equilatero ABC e si dimostri che la somma delle distanze di un punto qualunque P, dell’arco BC, ai vertici B e C è uguale a PA.

La dimostrazione, di livello ginnasiale, può essere quella illustrata nella figura a lato. Dobbiamo dimostrare che PB+PC=PA. Sul prolungamento di BP stacchiamo P’ in modo che PP’=PC. Essendo BÂC=60°, il suo angolo opposto, di vertice P, è 120°; ne consegue che il triangolo PP’C è equilatero e uguali sono dunque i triangoli PAC e BCP’. Quindi PA=BP’ cioè: PA=PB+PP’ ovvero PA=PB+PC1.

La relazione stabilita vale per ogni P dell’arco BC (analogo discorso vale per gli altri due archi). In particolare, se P coincide con il punto medio dell’arco BC allora PA coincide con il diametro, il che si può esprimere con la proposizione2: la somma PA+PB+PC è massima quando P è il punto medio dell’arco BC.

Segue anche che se N, P, R sono i punti medi dei tre archi sottesi dai lati del triangolo, allora l’esagono ANBPCR è regolare e ha perimetro tre volte il diametro: cioè il lato dell’esagono regolare inscritto in un cerchio è uguale al raggio. Un risultato notoriamente raggiungibile per molte vie.

Dall’uguaglianza PA=PB+PC si deduce anche, moltiplicando entrambi i suoi membri per la lunghezza s del lato del triangolo, che:

PA ˑ s = PB ˑ s + PC ˑ s    ovvero:

PAˑBC = PBˑAC+ PCˑAB

L’uguaglianza è nota come teorema di Tolomeo (∼100 – 168) e in termini geometrici equivale a dire: il rettangolo che ha per lati le diagonali del quadrilatero è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati le coppie di lati opposti del quadrilatero. Storicamente è proprio questa la via seguita da Tolomeo nella scoperta del suo teorema, scoperta motivata dal proposito di dare una misura alle corde del cerchio, noto il corrispondente angolo al centro, cioè AB= d·sen(θ/2) se θ è l’angolo al centro che sottende AB e d è il diametro. Per questo aspetto storico si può vedere Morris Kline, il volume primo della sua Storia del pensiero matematico nonché riflettere sulla rilevanza didattica del teorema dei seni quale esempio significativo d’invarianza, da cui la formula della corda.

Viceversa noto il teorema di Tolomeo, valido per ogni quadrilatero convesso inscritto in un cerchio, da esso consegue immediatamente, per “semplificazione” del fattore comune, la relazione PA=PB+PC.

Ovviamente non c’è chi non percepisca, in questo modo di procedere, per moltiplicazioni e semplificazioni, una perdita della purezza del discorso euclideo condotto per via sintetica ed un progressivo tendere ai metodi analitici più propri dell’algebra. È d’altronde questa una caratteristica della geometria del dopo Euclide dove il teorema di Tolomeo vi è di particolare rilevanza.

Al pari del teorema del coseno, detto anche di Carnot, da Lazare Carnot (1753-1823), il teorema di Tolomeo è una generalizzazione del teorema di Pitagora, ovvero il primo implica il secondo. Per convincersene è sufficiente considerare un quadrilatero inscritto che sia un rettangolo: per il teorema di Tolomeo si ha PA2= PB2+PC2

Interessante, dal punto di vista didattico, è una “catena” di esercizi che Emma Castelnuovo, propone nel volume Trigonometria3.

Esercizio 1

Dimostrare che le diagonali m e n di un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio sono legate dalle relazioni seguenti:

m^{2}= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+dc}

n^{2}=\frac{(ab+dc)(ac+bd)}{ad+bc}

la dimostrazione consegue dall’applicazione del teorema del coseno a ciascuna delle due coppie di triangoli ABC e ADC, ADB e CBD e dal tenere conto che gli angoli opposti sono supplementari.

Esercizio 2

A partire dalle due relazioni stabilite nell’esercizio precedente dimostrare il seguente teorema di Tolomeo: mn = ac +bd

Esercizio 3

A partire dalle due relazioni stabilite nell’esercizio 1 dimostrare il seguente teorema di Legendre:

\frac{m}{n}=\frac{ad+bc}{ab+dc}

Le dimostrazioni si ottengono rapidamente: la prima moltiplicando membro a membro le due relazioni, la seconda dividendole. C’è da osservare che quello che la Castelnuovo chiama teorema di Legendre è anche noto come secondo teorema di Tolomeo mentre le relazioni di partenza, deducibili dal teorema del coseno, sono dette anche di Mahavira, un matematico indiano del secolo IX, anche se molti storici asseriscono che le relazioni erano già note a Brahmagupta vissuto due secoli prima e noto per la formula che dà l’area di un quadrilatero inscritto in un cerchio: formula giudicata tra le più belle di tutta la matematica.

Un altro risultato importante è la deduzione delle formule di addizione e sottrazione dei seni e coseni.

Nella figura sotto, il quadrilatero inscritto ha la diagonale AC coincidente con il diametro supposto di lunghezza 1. A fianco sono indicate le misure dei lati e delle diagonali.

La formula di addizione per i seni è la semplice applicazione del teorema di Tolomeo. Da

AC·BD = BC·AD + AB·CD  segue:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ

Per la sottrazione, la figura di riferimento è la seguente:

Da AC·BD=ABCD+ADBC segue senαcosβ = cosαsenβ + sen(α – β) ovvero

sen(α – β) = senαcosβ – cosαsenβ

La derivazione delle formule di addizione e sottrazione dei coseni può costituire pur essa un utile esercizio.

Si tratta di risultati noti che fanno parte dell’insegnamento secondario.

E si può citare anche la sezione aurea che emerge dalla sottostante sintesi illustrativa, operativa e grafica:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\\left({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}}

Riepilogando: si è partiti da una questione di dimostrazione e si è andati avanti con una catena di deduzioni.

Una sequenza, però, non soggetta ad alcun obbligo unidirezionale. In più, una sequenza che assembla risultati tradizionalmente appartenenti a capitoli diversi della geometria e della trigonometria: Van Schooten, Tolomeo, Carnot, Pitagora, relazioni di Mahariva e di Legendre, il teorema dei seni che è equivalente al teorema del coseno, poligoni inscritti e circoscritti, l’area massima del quadrilatero e la formula di Brahmagupta, la sezione aurea. Farne un elenco è particolarmente utile didatticamente e altrettanto utile è tentare di segnarli come punti di uno schema e vederli come nodi di una rete, tali che ognuno sia raggiungile dagli altri. Al riguardo vale anche la pena di ricordare che il teorema dei seni4 è presente nel progetto di tavola dei risultati di apprendimento a conclusione del primo biennio della scuola secondaria di secondo grado.

Infine un po’ di storia della scuola.

L’espressione “limitate catene deduttive” era stata introdotta nella letteratura della didattica della matematica con i programmi d’insegnamento del PNI. L’espressione fu ripresa in occasione della redazione delle Linee Guida per gli istituti tecnici e professionali del 2010. Alla fine però, nel testo reso ufficiale, le “limitate catene deduttive” divennero “semplici catene deduttive”, per scelta di chi, non comprendendone il significato, aveva già riempito le Indicazioni Nazionali per i Licei, di tanti altri “semplici” e tanti altri aggettivi denotativi di altrettanti orrori matematici e logici (alcuni sono evidenziati nei documenti linkati).

Non va dimenticato che le Indicazioni Nazionali per i Licei e le Linee Guida per gli Istituti Tecnici e Professionali sono gli atti normativi che dettagliano il che cosa si dovrebbe insegnare e apprendere nelle scuole del sistema scolastico italiano. Per la matematica sono atti che, per come sono scritti, non fanno né bene al sistema scolastico, né onore alla comunità matematica italiana e purtuttavia sopravvivono da quattordici anni, senza che se ne manifesti vergogna neppure da  parte dei nuovi “esperti” che dichiarano di voler cambiare l’insegnamento della matematica nelle scuole e dimostrano invece di non conoscere neppure quel che, così malamente, è previsto che s’insegni e si apprenda.

Fino a qualche decennio fa chi voleva occuparsi d’insegnamento e di apprendimento la prima cosa che si preoccupava di conoscere erano i programmi ministeriali che oggi non esistono più. Ci sono le Indicazioni Nazionali e le Linee guida che sono del livello descritto sopra. Se sopravvivono, inalterate e intoccabili, vuol dire che o non si leggono o che l’interesse generale per la didattica della matematica è molto marginale.

NOTE

  1. Didatticamente, per rafforzare la dimostrazione potrà essere utile parlare di rotazioni e far notare, anche attraverso l’uso di un visualizzatore dinamico, che una rotazione di 60° di centro C porta B in A e P’ in P.
  2. In una buona didattica si dovrebbero sempre cogliere le occasioni più opportune per ragionare su “come variano” le grandezze in gioco.
  3. Trigonometria è uno dei volumi del progetto Matematica e Realtà (1986). L’insegnamento della trigonometria nei licei italiani è stato a lungo il fiore all’occhiello dell’educazione al pensiero deduttivo: concentrato in un solo anno, assolveva magnificamente al suo compito formativo in particolar modo nel liceo classico dove non aveva altre finalità strumentali o di supporto.
  4. In merito all’insegnamento della Trigonometria un particolare interesse suscitò, in Italia, il progetto dello S.M.P.

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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