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Geometria: intuitiva e razionale

Geometria: intuitiva alle medie e razionale alle superiori. Le sistemazioni globali e parziali. L’invito alla costruzione di limitate catene di deduzioni.

Allegoria della Geometria di Domenico Piola

Nelle scuole dell’Italia unita l’insegnamento della geometria è stato sempre condotto con metodo intuitivo a livello di scuola primaria e media e razionale nella scuola di secondo grado. Conseguentemente anche i libri di testo erano detti, rispettivamente, di geometria intuitiva e di geometria razionale. Furono i programmi del PNI, e successivamente i piani di studio Brocca, a cambiare le cose.

L’insegnamento nelle superiori fu ridotto, per così dire, a semi-razionale.

Si riconobbe cioè che la finalità dell’insegnamento di educare al pensiero razionale poteva essere più efficacemente perseguita educando al “se…allora”, alla scelta delle proposizioni da assumere come primarie e alla loro concatenazione.

Cosa che poteva essere fatta attraverso la presentazione di limitate catene di deduzioni.

Concentrando cioè il lavoro didattico su organizzazioni parziali del discorso geometrico piuttosto che portando avanti l’inferenza logica di una sua incompresa sistemazione globale. Quest’ultima doveva essere l’oggetto di una riflessione specifica a conclusione degli studi non una scelta imposta a priori, punto di partenza dello stesso insegnamento ai giovani studenti, appena quattordicenni.

Quei programmi d’insegnamento, sperimentali, a cavallo degli anni ’80 e ’90, PNI e Brocca, ponevano così fine a più di un secolo di discussioni che avevano investito la fedeltà al testo di Euclide, l’avviamento al rigore logico e la scelta dell’assiomatica e indirizzavano verso cambiamenti notevoli, almeno nell’ordine delle trattazioni.

Lo testimoniano molti dei libri di testo attuali la cui distribuzione della materia non è certamente quella degli Enriques-Amaldi o Palatini-Faggioli di una volta.

Tuttora, comunque, quella raccomandazione dei programmi PNI e Brocca risuona come un invito ad una sana pedagogia della matematica.

Didatticamente, la costruzione di limitate catene deduttive costituisce infatti un esercizio molto utile ma anche molto maturo di libero assemblaggio di risultati e proprietà: ciò che conta è la significatività dei risultati e il legame deduttivo che si vuole instaurare fra essi, il prima e il dopo, il “se…allora”.

Un esercizio che coinvolge la padronanza dei concetti, gli aspetti di valutazione delle proposizioni, nelle loro enunciazioni e nessi conseguenziali, e dunque nell’ordine del ragionamento deduttivo nel quale possono essere organizzate.

Punto di partenza per un tale esercizio può essere anche una qualsiasi questione, in verità non solo geometrica, che abbia interessato la classe. L’obiettivo rimanendo quello di stabilire un insieme di proposizioni semplici che la esprima razionalmente, secondo i canoni dell’organizzazione deduttiva.

A titolo meramente esemplificativo si consideri la questione di «vedere sotto un dato angolo gli estremi di un segmento assegnato».

Una questione certamente importante ed oggetto, peraltro, di varie riflessioni didattiche nel corso dei decenni passati.

Siano dati nello spazio tre punti A,B,C. Si può dimostrare che se un segmento MM’ è visto sotto angolo retto da ciascuno dei tre punti ABC, è visto sotto angolo retto anche da ogni altro punto del cerchio Γ circoscritto al triangolo ABC.

Il ragionamento dimostrativo può prendere le mosse con l’osservare che i punti ABC, dai quali il segmento MM’ è visto sotto angolo retto, appartengono alla superficie sferica di diametro MM’, essendo essa il luogo di tali punti. È chiaro altresì che il cerchio Γ, circoscritto al triangolo ABC, coincide con quello di sezione del piano ABC con la superficie sferica. Pertanto il segmento MM’ è visto sotto angolo retto da ogni altro punto di Γ.

La questione posta può essere riformulata diversamente.

Può essere scissa nelle proposizioni più semplici che vi sono interessate per poi fissarle in enunciati chiari e disporle nella sequenza dell’ordine logico prescelto. In più, essa, legata com’è alle proprietà angolari del cerchio, presenta la particolarità di unire geometria piana e solida e si presta pertanto ad offrire un buon esempio di fusionismo, nel senso classico.

Con riguardo all’efficacia della raccomandazione dei programmi PNI e Brocca nel perseguire la finalità di educare al pensiero razionale non mancano certo esempi probanti.

Una questione che vale la pena di citare, per meglio chiarire il senso di questa nota, è la somma degli angoli di un poligono.

Tradizionalmente è  tutta contenuta in una breve catena deduttiva: dagli assimi euclidei, in particolare dall’assioma delle parallele, all’invarianza della somma degli angoli esterni di un poligono qualsiasi. È una catena deduttiva che può essere ripercorsa anche in senso inverso, partendo cioè dal risultato che la somma degli angoli esterni di un poligono è 360° come fa, tra gli altri, Emma Castelnuovo nei suoi testi. Si fornisce in tal modo un altro esempio che arricchisce di significato il ragionare in matematica nonchè il valore di un’ssiomatica.

 

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