Esercizi che fanno nascere teorie

Il concetto di coppia ordinata e il modo in cui la matematica costruisce se stessa. Gli interi e i razionali visti con occhi nuovi.

Matematica di Sonya Delanuy

In un articolo precedente ci siamo occupati di “esercizi con soluzioni assurde”, nei quali un procedimento apparentemente corretto portava a risultati impossibili.
Questa volta il discorso cambia: proponiamo “esercizi che fanno nascere teorie”.

Non ci troviamo di fronte ad assurdità da smascherare, ma a osservazioni semplici che spingono a costruire strutture nuove.
Questi esercizi, come già i precedenti, nella forma in cui sono proposti, si trovano in Howard Eves, Great Moments in Mathematics after 1650: una delle grandi liste raccolte nell'Antologia di Matmedia - Parte Prima 

Si tratta di esercizi che mostrano come i matematici procedono nel loro lavoro e come allargano continuamente il loro modo di vedere e trattare gli oggetti con i quali costruiscono la matematica.

I due esempi che seguono riguardano un modo nuovo e diverso di guardare agli interi e ai razionali: vederli come coppie ordinate e costruire con esse un altro pezzo di matematica.

Esercizio 1 – Gli interi come differenze di naturali

Il testo:
Ogni numero intero, positivo, nullo o negativo, può essere rappresentato come differenza \(m-n\) di due numeri naturali \(m, n\).
Se \(m>n\), la differenza è positiva; se \(m=n\), la differenza è zero; se \(m<n\), la differenza è negativa.
Così, per introdurre logicamente gli interi, si possono considerare le coppie ordinate \((m,n)\) di numeri naturali, dove \((m,n)\) denota la differenza \(m-n\).
Come deve essere definita l’uguaglianza degli interi in termini di coppie ordinate di naturali? Come deve essere definita l’addizione? La moltiplicazione?

La soluzione

Il testo ci dice che ogni intero può essere rappresentato come differenza di due naturali: ad esempio \(2 = 5-3\), oppure \(-2 = 3-5\). È vero!
Dunque: un intero possiamo pensarlo e rappresentarlo come una coppia di numeri naturali \((m,n)\), che sta per la differenza \(m-n\).

Ci accorgiamo subito però di un punto debole: diverse coppie, anzi infinite coppie, possono rappresentare lo stesso intero.

• \((5,3)\) e \((7,5)\) rappresentano entrambe il numero \(2\);
• \((4,4)\) e \((6,6)\) rappresentano entrambe lo zero.

Questa molteplicità di rappresentazioni non è un ostacolo insormontabile: possiamo gestirla riunendo tutte le coppie che danno luogo, per differenza, allo stesso intero in un’unica classe. È questo un punto  didatticamente importante: comporta un vero e proprio salto di qualità del fare matematica.

Diremo allora che due coppie \((m,n)\) e \((p,q)\) rappresentano lo stesso intero quando \(m-n = p-q\).
In forma equivalente, poniamo la relazione:

$$
(m,n) \sim (p,q) \quad \text{se e solo se} \quad m+q = n+p.
$$

Con questa definizione ogni intero non è più una singola coppia, ma una classe di equivalenza di coppie di naturali: tutte quelle che rappresentano lo stesso numero.

Le operazioni sugli interi

Una volta chiarito cosa sia un intero, occorre stabilire come funzionano le operazioni.

• Addizione:
  $$(m,n)+(p,q) = (m+p,\; n+q).$$
• Moltiplicazione:
  $$(m,n)\cdot(p,q) = (mp+nq,\; mq+np).$$

Queste regole garantiscono che il risultato non dipenda dal rappresentante scelto, ma solo dalla classe di equivalenza, cioè dall’intero che essa rappresenta.

Il valore didattico

L’esercizio diventa così un esempio di come la matematica costruisce teorie a partire da intuizioni semplici.
Gli studenti imparano che:

• un intero può essere visto come coppia di naturali;
• serve una definizione di uguaglianza per rendere coerente questa rappresentazione;
• da qui nascono le regole operative che trasformano l’intuizione in una vera teoria.

Esercizio 2 – I razionali come quozienti di interi

Il testo:
Ogni numero razionale, positivo, nullo o negativo, può essere rappresentato come quoziente \(m/n\) di due interi \(m, n\) (con \(n\neq 0\)).
Così, per introdurre logicamente i razionali, si possono considerare le coppie ordinate \((m,n)\) di interi, con \(n\neq 0\), dove \((m,n)\) denota il quoziente \(m/n\).
Come deve essere definita l’uguaglianza dei razionali in termini di coppie ordinate di interi? Come deve essere definita l’addizione? La moltiplicazione?

La soluzione: dalla rappresentazione alla teoria

Il testo ci suggerisce che ogni numero razionale può essere pensato come un quoziente di interi, cioè come una coppia \((m,n)\) con \(n\neq 0\).
Ad esempio:

• \((1,2)\) rappresenta \(\tfrac{1}{2}\);
• \((2,4)\) rappresenta ancora \(\tfrac{1}{2}\);
• \((3,1)\) rappresenta \(3\).

Questa rappresentazione è naturale e immediata, ma presenta lo stesso problema già incontrato per gli interi: molte coppie diverse rappresentano lo stesso razionale.

Dalla rappresentazione all’equivalenza

Per rendere la costruzione rigorosa, occorre dire chiaramente quando due coppie rappresentano lo stesso razionale.

La condizione è:

$$
(m,n) \sim (p,q) \quad \text{se e solo se} \quad mq = np.
$$

Ad esempio, \((1,2)\) e \((2,4)\) sono equivalenti perché \(1\cdot 4 = 2\cdot 2\).
Allo stesso modo, \((3,6)\) e \((1,2)\) sono equivalenti perché \(3\cdot 2 = 6\cdot 1\).

In questo modo, ogni numero razionale non è una singola frazione, ma una classe di equivalenza di coppie di interi.

Le operazioni sui razionali

Una volta definite le classi, bisogna introdurre le operazioni in modo coerente, cioè tali che il risultato non dipenda dal rappresentante scelto.

• Addizione:
  $$(m,n)+(p,q) = (mq+np,\; nq).$$
• Moltiplicazione:
  $$(m,n)\cdot(p,q) = (mp,\; nq).$$

Si verifica facilmente che, se scegliamo coppie equivalenti, i risultati appartengono sempre alla stessa classe.

Il valore didattico

Con questo esercizio gli studenti vedono che ciò che sembrava “ovvio” – le frazioni – in realtà è una costruzione precisa.
La matematica qui non si limita a usare numeri dati, ma li costruisce passo dopo passo:

1. propone un modello (coppie di interi);
2. stabilisce un criterio di equivalenza;
3. definisce operazioni indipendenti dai rappresentanti.

Così emerge che i numeri razionali sono classi di equivalenza, non simboli isolati, e che la matematica è un lavoro di coerenza e di rigore oltre che di intuizione.

Conclusione

Gli esercizi presentati mostrano la matematica nella sua intimità.
Vedere gli interi come coppie ordinate di naturali e i razionali come coppie di interi significa infatti cogliere qualcosa dell’essenza stessa della matematica, vedere come costruisce se stessa.

Indiscutibile, quindi, il valore didattico di questi esercizi fondati peraltro sul concetto di coppia ordinata, sull'elemento cioè che si rivela il costruttore essenziale di gran parte del discorso matematico, dalle funzioni alla geometria analitica.