Esercizi che portano a soluzioni assurde ma in classe possono trasformarsi in strumenti di apprendimento critico.
La matematica s’impara con il ragionamento: più stimoli ci sono a pensare e riflettere, meglio si impara.
Proporre agli studenti esercizi che conducono a risultati assurdi significa allenarli a individuare errori nascosti, distinguere le condizioni di validità delle regole e trasformare l’errore in occasione di crescita.
I tre esempi che seguono fanno parte della tradizione didattica; nella forma in cui sono proposti, sono tratti da Howard Eves, Great Moments in Mathematics after 1650. I primi due possono essere affrontati già nelle classi del primo biennio (algebra e logaritmi), mentre il terzo richiede strumenti di analisi ed è quindi adatto agli studenti dell’ultimo anno di scuola superiore.
Esercizio 1: due frazioni, stesso numeratore
Molti studenti, a una prima lettura, possono trovare del tutto corretto il seguente teorema:
“Se due frazioni sono uguali ed hanno lo stesso numeratore, allora devono avere anche lo stesso denominatore.”
Consideriamo:
$$\frac{x+5}{x-7} - 5 = \frac{4x-40}{13-x}$$
Sviluppando a primo membro:
$$\frac{(x+5) - 5(x-7)}{x-7} = \frac{4x-40}{13-x}$$
cioè
$$\frac{4x-40}{7-x} = \frac{4x-40}{13-x}$$
Per il teorema precedente, dovrebbe seguire che
$$7-x = 13-x \quad \Rightarrow \quad 7=13$$
Perché si arriva all’assurdo \(7=13\)?
Semplicemente perché il “teorema” iniziale non è valido in generale: vale soltanto quando il numeratore è diverso da zero.
Se invece il numeratore è nullo, le frazioni possono coincidere pur avendo denominatori diversi. Nel caso \(x=10\), infatti, i numeratori si annullano e le due frazioni valgono entrambe 0.
Il valore didattico dell’esercizio sta proprio nell’assurdo a cui conduce e, di conseguenza, nella possibilità di discutere con gli studenti la differenza tra regole generali e casi particolari, nonché di sottolineare l’importanza di controllare sempre le ipotesi di partenza.
Per aumentare ulteriormente la valenza formativa dell’esercizio, comprenderne a fondo il significato e trasformarlo in uno strumento di apprendimento, potrebbe essere utile fornire dei controesempi o anche insistere per chiarire la versione corretta del “teorema”
Enunciato. Sia \(N\) il numeratore comune e \(D_1, D_2\) i denominatori (con \(D_1\neq 0, D_2\neq 0\)).
Se
\[
\frac{N}{D_1}=\frac{N}{D_2}
\]
allora o \(N=0\) oppure \(D_1=D_2\)
Dimostrazione.
Se \(N=0\), entrambe le frazioni valgono 0 (quando definite), quindi l’uguaglianza è vera indipendentemente dai denominatori.
Se \(N\neq 0\), si può dividere per \(N\). Si ottiene: \(1/D_1=1/D_2\), da cui \(D_1=D_2\).
Applicazione all’Esercizio 1
Nel nostro caso
\[
\frac{4x-40}{7-x}=\frac{4x-40}{13-x}
\]
Il numeratore comune è \(N=4x-40\).
- Se \(N=0 \Rightarrow x=10\): le due frazioni valgono entrambe 0 (e l’equazione originaria è effettivamente verificata).
- Se \(N\neq 0\): allora l’uguaglianza fra frazioni imporrebbe \(7-x=13-x\), cioè \(7=13\), impossibile.
Dunque l’assurdo nasce dall’aver applicato il “teorema” senza verificare l’ipotesi cruciale \(N\neq 0\).
Esercizio 2: il logaritmo che ribalta la disuguaglianza
È vero che \(3 > 2\).
Moltiplicando entrambi i membri per \(\log(1/2)\) troviamo:
$$3\log(1/2) > 2\log(1/2).$$
Dunque:
$$\log\!\big((1/2)^3\big) > \log\!\big((1/2)^2\big),$$
da cui
$$(1/2)^3 > (1/2)^2 \quad \text{ossia } \tfrac{1}{8} > \tfrac{1}{4}.$$
Risultato paradossale! Perché?
Perché \(\log(1/2)\) è negativo. E l'esercizio mira proprio a rafforzare questa conoscenza e l'altra, più generale: quando si moltiplica una disuguaglianza per un numero negativo, il verso si inverte:
da \(3>2\) segue in realtà
\(3\log(1/2) < 2\log(1/2)\).
La conclusione corretta è
\((1/2)^3 < (1/2)^2\), cioè \(\tfrac{1}{8} < \tfrac{1}{4}\).
La versione corretta della regola
Enunciato A (disuguaglianze e moltiplicazione).
Se \(a<b\) e \(c<0\), allora \(ac>bc\) (il verso si inverte moltiplicando per un negativo).
Dimostrazione (una riga).
Da \(a<b\) segue \(a-b<0\). Moltiplicando per \(c<0\) otteniamo \((a-b)c>0\), cioè \(ac>bc\). □
Enunciato B (monotonia del logaritmo).
Per \(b>1\), la funzione \(x\mapsto \log_b x\) è crescente; per \(0<b<1\), è decrescente.
Applicazione all’Esercizio 2
- Da \(3>2\), poiché \(\log(1/2)<0\), si deve concludere: \(3\log(1/2) < 2\log(1/2)\).
- Usando la proprietà \(k\log a=\log a^k\) (corretta), otteniamo:
\(\log((1/2)^3) < \log((1/2)^2)\). - Essendo il logaritmo (qui di base \(e\) o 10) crescente rispetto al suo argomento, segue:
\((1/2)^3 < (1/2)^2\), cioè \(\tfrac{1}{8} < \tfrac{1}{4}\).
Esercizio 3: un integrale che “vale” –2
Per procedimento standard si trova:
$$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2.$$
Qual è l’assurdo?
Il calcolo formale sembra portare a \(-2\). Ma questo è un valore assurdo per due motivi:
- La funzione \(1/x^2\) è sempre positiva (quando definita). Se l’integrale fosse esistito, l’area avrebbe dovuto essere positiva, non negativa.
- In realtà l’integrale non è definito, perché la funzione ha una singolarità in \(x=0\): la procedura della primitiva non si può applicare su tutto l’intervallo \([-1,1]\).
La versione corretta della regola
Enunciato (integrale improprio con singolarità interna).
Se \(f\) ha una singolarità in \(c\in(a,b)\), l’integrale su \([a,b]\) si definisce (se esiste) come somma di due integrali impropri:
$$
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{a}^{\,c-\varepsilon} f(x)\,dx + \int_{c+\varepsilon}^{\,b} f(x)\,dx\right).
$$
L’integrale esiste se e solo se entrambi i limiti esistono e sono finiti.
Applicazione all’Esercizio 3
- Scriviamo la somma dei due impropri:$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x^2} + \int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^2}\right).$$
- Calcoliamo ciascun pezzo:A destra:$$\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^2}
= \left[-\frac{1}{x}\right]_{\varepsilon}^{1}
= -1 -\!\left(-\frac{1}{\varepsilon}\right)
= \frac{1}{\varepsilon}-1
\;\xrightarrow[\varepsilon\to 0^+]{}\; +\infty.$$A sinistra:$$\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x^2}
= \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{-\varepsilon}
= \frac{1}{\varepsilon}-1
\;\xrightarrow[\varepsilon\to 0^+]{}\; +\infty.$$ - Conclusione: entrambi i contributi divergono \(\Rightarrow\) l’integrale non esiste. Il valore “–2” nasce dall’aver applicato la primitiva attraversando il punto di discontinuità, cosa che non è lecita.
Nota di metodo
- Non si può scrivere direttamente \([F(x)]_{-1}^{1}\) se la funzione non è integrabile su tutto l’intervallo: prima si verifica l’esistenza come integrale improprio.
- Il fatto che la funzione sia pari e “simmetrica” non salva la situazione: qui l’area sotto \(1/x^2\) esplode in \(0\).
Confronto utile
Un confronto interessante è con
$$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx.$$
Anche questo integrale non esiste nel senso classico, perché la funzione ha una singolarità in \(x=0\). Infatti la primitiva di \(1/x\) è \(\ln|x|\), che diverge quando ci si avvicina a 0.
Tuttavia, se si considerano i contributi da sinistra e da destra in modo simmetrico, cioè con la stessa distanza dallo zero, si ottiene un risultato ben definito:
$$
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}\,dx + \int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx\right).
$$
A destra:
$$\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx = \ln(1) - \ln(\varepsilon) = -\ln(\varepsilon).$$
A sinistra:
$$\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}\,dx = \ln(\varepsilon) - \ln(1) = \ln(\varepsilon).$$
Sommando i due contributi:
$$-\ln(\varepsilon) + \ln(\varepsilon) = 0.$$
Il limite simmetrico vale dunque \(0\). Questo accade perché \(\tfrac{1}{x}\) è una funzione dispari: i contributi a destra e a sinistra dello zero si compensano.
Per \(\tfrac{1}{x^2}\), invece, la funzione è pari e sempre positiva: i contributi da sinistra e da destra non si compensano, ma esplodono entrambi verso \(+\infty\). Per questo l’integrale diverge.
Conclusione
Ogni assurdo nasconde una lezione.
Questi esercizi insegnano che in matematica non basta applicare regole, ma occorre vigilare su ipotesi e significato.
Così l’errore, da ostacolo, si trasforma in strumento di apprendimento e in esercizio di libertà intellettuale.
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