Archimede, genio senza tempo. I due metodi per quadrare la parabola: un viaggio didattico che attraversa progressioni, serie, indivisibili e rigore.
Archimede é il genio «la cui grandezza raggiunge i limiti del favoloso» e il suo, è il nome che è sinonimo di inventore e di scienziato, protagonista e icona, in tutto il mondo, anche dei più diffusi fumetti per ragazzi.
“Archimede ne ha fatte di così curiose, ha fatto dir tanto di sé, che, per saperne qualche cosa, non c’è bisogno d’un’erudizione molto vasta”. Così dice di lui finanche il Don Abbondio manzoniano.
L’area di un segmento parabolico è, delle “cose che ha fatto”, l’oggetto della presente nota. Archimede la calcola in due modi, uno geometrico che espone nella Quadratura della parabola, l’altro meccanico illustrato nel Metodo, l’opera perduta all’epoca delle Crociate e ritrovata solo nel 1906 dal filologo danese Johan Ludvig Heiberg in un palinsesto di Costantinopoli.
1. Il metodo geometrico: l’esaustione e la serie di Archimede
Nella quadratura della parabola, Archimede affronta il problema con il procedimento dell’esaustione, che consiste nell’approssimare una figura curvilinea mediante un numero crescente di figure rettilinee inscritte, fino a esaurire la differenza tra l’area cercata e la somma delle aree costruite.
Sia data una parabola e la sua corda \( AB \), che delimita un segmento parabolico. Si consideri il punto \( C \) della parabola in cui la tangente è parallela alla corda: congiungendo \( A \), \( B \) e \( C \) si ottiene il triangolo \( \triangle ABC \), che Archimede prende come figura di riferimento.
Archimede dimostra che, se si uniscono i punti medi degli archi parabolici compresi tra ciascun vertice e la base, si possono costruire triangoli successivi interamente contenuti nel segmento parabolico, ognuno dei quali ha area pari a un quarto di quella del triangolo precedente. Il processo può essere ripetuto all’infinito, generando una successione infinita di triangoli sempre più piccoli, che “riempiono” progressivamente la figura.
Se si indica con \( \triangle ABC \) l’area del triangolo iniziale, la somma delle aree di tutti i triangoli inscritti è:
\[
\triangle ABC
+ \frac{\triangle ABC}{4}
+ \frac{\triangle ABC}{4^2}
+ \frac{\triangle ABC}{4^3}
+ \cdots
= \triangle ABC \left( 1 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4^2} + \tfrac{1}{4^3} + \cdots \right).
\]
Si tratta di una serie geometrica di ragione \( \tfrac{1}{4} \), la cui somma converge a:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{4}\right)^n
= \frac{1}{1-\tfrac{1}{4}}
= \frac{4}{3}.
\]
Di conseguenza, l’area del segmento parabolico è pari a:
\[
A_{\text{segmento parabolico}} = \tfrac{4}{3}\,\triangle ABC.
\]
Archimede non si limita a questa semplice somma, ma la giustifica geometricamente attraverso il metodo di esaustione: mostra che, prolungando indefinitamente il processo di costruzione dei triangoli, la differenza tra l’area reale del segmento e quella dei triangoli inscritti può essere resa arbitrariamente piccola. In tal modo “l’area residua” si esaurisce, e l’uguaglianza si dimostra vera nel senso più rigoroso consentito dalla matematica greca.
Questa costruzione, di sorprendente modernità, anticipa l’idea di limite e il concetto di integrale definito: la somma infinita di figure sempre più piccole che si ricompone in una misura finita e perfettamente determinata.
Per un effettivo utilizzo didattico ripetiamo in dettaglio i successivi passaggi riferiti al caso particolare della parabola \( y = x^2 \).
Il modello semplice che consideriamo è la parabola \( y = x^2 \) e la corda orizzontale \( y = 1 \), che la interseca nei punti
\[
A = (-1, 1), \quad B = (1, 1).
\]
Il punto \( C = (0, 0) \) è quello in cui la tangente alla parabola è parallela alla corda (cioè ha pendenza nulla). Il triangolo parabolico di riferimento è dunque \( \triangle ABC \).
L’area del triangolo è:
\[
A(\triangle ABC) = \frac{\text{base} \times \text{altezza}}{2} = \frac{2 \times 1}{2} = 1.
\]
Prima iterazione: la somma vale un quarto dell’area iniziale
Sia \( L \) il punto medio di \( AB \), ossia \( L = (0,1) \).
Le rette verticali condotte per i punti medi \( M \) e \( N \) dei segmenti \( AC \) e \( BC \) (con \( M = (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}) \), \( N = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}) \)) intersecano la parabola rispettivamente nei punti
\[
D = (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}), \quad E = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}).
\]
Si formano così due nuovi triangoli, \( \triangle CDA \) e \( \triangle CEB \), interamente contenuti nel segmento parabolico.
Poiché la parabola \( y = x^2 \) è autosimile rispetto alla trasformazione \((x, y) \mapsto (x/2, y/4)\), i due triangoli risultano simili a \( \triangle ABC \) e ridotti in scala con rapporto lineare \( \tfrac{1}{2} \).
Il rapporto di area è quindi \( (\tfrac{1}{2})^3 = \tfrac{1}{8} \).
Ne segue che:
\[
A(\triangle CDA) = A(\triangle CEB) = \tfrac{1}{8} A(\triangle ABC) = \tfrac{1}{8}.
\]
La somma delle due aree è \( \tfrac{1}{4} \) dell’area iniziale:
\[
A(\triangle CDA) + A(\triangle CEB) = \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{4} A(\triangle ABC).
\]
Iterazione generale e serie geometrica
Ripetendo lo stesso procedimento su ciascun triangolo appena costruito, ogni nuovo triangolo ha area pari a \( \tfrac{1}{8} \) di quello da cui deriva.
Al passo \( n \) compaiono \( 2^n \) triangoli, ciascuno di area \( (\tfrac{1}{8})^n \) di \( \triangle ABC \).
La somma delle aree aggiunte al passo \( n \) è dunque:
\[
2^n \left( \tfrac{1}{8} \right)^n = \left( \tfrac{1}{4} \right)^n.
\]
In unità di \( A(\triangle ABC) \), la somma totale delle aree (includendo il triangolo iniziale) è:
\[
A_{\text{totale}} = A(\triangle ABC) \sum_{n=0}^{\infty} \left( \tfrac{1}{4} \right)^n
= A(\triangle ABC) \cdot \frac{1}{1 - \tfrac{1}{4}}
= \tfrac{4}{3} A(\triangle ABC).
\]
Conclusione (Quadratura)
Poiché nel nostro modello \( A(\triangle ABC) = 1 \), l’area del segmento parabolico risulta:
\[
A_{\text{segmento}} = \tfrac{4}{3}.
\]
In forma generale, Archimede dimostra che per ogni parabola e ogni corda vale la relazione:
\[
A_{\text{segmento parabolico}} = \tfrac{4}{3} A_{\triangle \text{parabolico}}.
\]
Il risultato mostra come la somma infinita delle aree dei triangoli inscritti si ricomponga in una misura finita: un’anticipazione mirabile, come già detto, del principio del limite e del concetto di integrale definito.
2. Il secondo metodo: la leva e l’equilibrio dei momenti
L’altra dimostrazione proposta da Archimede nel Metodo costituisce la testimonianza più esplicita di una trasformazione dell’idea di rigore. Egli, infatti, presenta la propria costruzione come una congettura meccanica — e non come una vera dimostrazione geometrica — e la conferma attraverso un argomento di equilibrio statico che conduce alla stessa conclusione della Quadratura della parabola.
Archimede immagina il segmento di parabola come composto da linee parallele all’asse della curva. A ciascuna di queste linee attribuisce un peso proporzionale alla sua lunghezza, come se la figura fosse costituita da un fascio continuo di segmenti sospesi a una leva ideale. Il principio utilizzato è quello dei momenti di equilibrio: due pesi sospesi in punti diversi di una leva si equilibrano se i prodotti dei pesi per le rispettive distanze dal fulcro sono uguali.
Sia dato il segmento di parabola \(ABC\). Sia \(E\) il punto in cui la tangente nel punto \(C\) incontra l’asse, e sia \(F\) il punto in cui la stessa tangente incontra la parallela \(AF\) condotta per il vertice \(A\). Dal vertice \(B\) si tracci la retta \(CB\), che interseca la parallela \(AF\) nel punto \(K\). Si prolunghi quindi la retta \(AF\) fino a un punto \(H\), in modo che \(KH = CK = KN\).
Si tracci ora un segmento di retta \(OP\) parallelo all’asse e compreso nel segmento parabolico, tale che incontri \(CF\) nel punto \(M\) e \(CK\) in \(N\).
Per le proprietà della parabola si ha:
\[
\frac{AC}{AO} = \frac{MO}{OP} , e \(N\), \(K\), \(B\) sono rispettivamente i punti medi di \(OM\), \(AF\), \(DE\). Dunque: \frac{MO}{OP} = \frac{AC}{AO} =\frac{CK}{KN}=\frac{HK}{KN}.
\]
Il segmento \(OP\), sospeso in \(H\) al suo punto medio (cioè la leva \(TG\) della figura), equilibrerà quindi il segmento \(MO\), sospeso nel suo punto medio \(N\), se la leva \(HC\) è appoggiata nel punto fisso \(K\).
Applicando lo stesso principio a tutti i segmenti di retta paralleli all’asse e contenuti nel segmento di parabola, Archimede mostra che l’intera figura può essere considerata come un insieme continuo di pesi distribuiti lungo la leva.
Poiché il momento di equilibrio dipende dal prodotto del peso per la distanza dal fulcro, egli conclude che il momento dell’area del segmento parabolico equivale a quello di un triangolo \(ACF\) di base uguale e di altezza un terzo. Pertanto:
\[
\frac{A_{\text{segmento}}}{A_{\triangle ACF}} = \frac{1}{3}.
\]
Ora, poiché il triangolo \(ACF\) è quadruplo del triangolo \(ABC\) (dato che \(B\) è il punto medio di \(DE\)), segue che:
\[
A_{\text{segmento}} = \frac{4}{3}\, A_{\triangle ABC}.
\]
Rigore e intuizione
Il valore dell’area ottenuto è corretto, ma Archimede lo considera più il frutto di un' atto d’invenzione che una prova rigorosa. La prima dimostrazione, infatti, è rigorosa perché utilizza, passo dopo passo, proposizioni già dimostrate, le quali dipendono dagli assiomi e dai postulati di Euclide; inoltre essa fa intervenire solo oggetti e operazioni in numero finito: mai vi prende parte la nozione di grandezza che “tende verso un limite”.
Questa volta, invece, il metodo è diverso e contrasta con il rigore geometrico in almeno due punti:
- fa uso di teoremi di statica, appartenenti al dominio dell’infinito;
- ammette implicitamente che un numero infinito di segmenti possa riempire una superficie.
L’intuizione è però feconda e il metodo efficace. Sarà Cavalieri, nel 1635, ad avere la stessa idea, generalizzando il metodo e formulando il principio degli indivisibili, senza però giungere ancora a una giustificazione pienamente rigorosa. Ma è da qui che nasce la linea che condurrà, attraverso Pascal e Leibniz, alla teoria moderna degli infinitesimi e al calcolo infinitesimale.
Conclusione: la misura dell’infinito
I due metodi di Archimede — geometrico e meccanico — mostrano la duplice anima della matematica antica: rigore dimostrativo e potenza intuitiva. Proporre la quadratura della parabola in classe significa offrire un incontro diretto con la nascita dell’idea di limite: una misura esatta ottenuta come somma di infiniti contributi, come accade anche nel calcolo dell’area del cerchio, che Archimede ottiene riempiendolo progressivamente con poligoni regolari di un numero crescente di lati, prima ancora del calcolo integrale.
I docenti interessati a “entrare” in classe con la parabola di Archimede possono riferirsi, per un’integrazione finalizzata alla piena comprensione dei modi di procedere, anche all’articolo Area di un segmento parabolico di Antonino Giambò, .
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