Un apparente paradosso

Sul significato delle operazioni matematiche e sui modi per giustificarne le regole. Complementi sui numeri complessi.

Le pagine che seguono sono tratte dal mio libro di Elettrotecnica, dalla sezione dedicata ai Complementi sui numeri complessi.
Si tratta di un testo di livello specialistico, destinato ad una trattazione rigorosa dei concetti matematici impiegati in ambito tecnico. Ciò non di meno, le cosiddette uguaglianze paradossali che vi compaiono si prestano a essere meditate e discusse anche a livello di scuola secondaria di secondo grado,
come stimolo alla riflessione sul significato delle operazioni matematiche e sui modi per giustificarne le regole.

Un apparente paradosso

Si considerino i cinque passaggi riportati, seppure in maniera schematica, nella tabella che segue.

1) \( 2 = 1 + 1 \)
2) \( 2 = 1 + \sqrt{1} \)
3) \( 2 = 1 + \sqrt{(-1)\cdot(-1)} \)
4) \( 2 = 1 + j \cdot j \)
5) \( 2 = 1 - 1 = 0 \)

Appare evidente che la conclusione, 2=0, non è corretta, ma dove si annida l’errore?
Ogni persona dotata di buon senso capisce immediatamente che il passaggio sbagliato si sviluppa tra il punto tre ed il quattro, ma poche sanno compiutamente spiegarne il perché.

Per comprendere dove si celi l’errore, bisogna considerare con attenzione il fatto che l’estrazione di una radice nel campo complesso è un’operazione a più valori, ma che, più in generale, un’operazione matematica deve essere sempre ad un sol valore. Ad esempio, la somma di due numeri oppure la loro differenza ammettono sempre un unico risultato; allo stesso modo, l’operazione di radice quadrata, ad esempio, deve fornire un solo risultato.

Allo scopo, si conviene di utilizzare quale risultato dell’operazione di radice quadrata soltanto quello corrispondente all’argomento principale, sicché si sceglie la determinazione
\[
\sqrt{z} = |z| \exp\left(j \frac{\operatorname{Arg} z}{2}\right).
\]

Ad esempio, intesa come un’operazione, si può scrivere che
\[
\sqrt{2 + 2j} = 2\sqrt{2} \exp\left(j \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + j,
\] che rappresenta il risultato fornito dai principali codici di calcolo numerico.

Chiarito ciò, si può allora discutere in quali casi risulti valida la proprietà
\[
\sqrt{z_1 \cdot z_2} = \sqrt{z_1} \cdot \sqrt{z_2},
\] che, nel campo reale, è verificata, sempre che abbiano senso le operazioni riportate.
In effetti, adoperando la definizione riportata per il campo complesso, si può senz’altro scrivere
\[
\sqrt{|z_1|\,|z_2|}\,\exp\left(j \frac{\operatorname{Arg}(z_1 z_2)}{2}\right)
=
\sqrt{|z_1|}\,\exp\left(j \frac{\operatorname{Arg} z_1}{2}\right)
\cdot
\sqrt{|z_2|}\,\exp\left(j \frac{\operatorname{Arg} z_2}{2}\right),
\] che è, senza dubbio alcuno, equivalente alla relazione tra gli argomenti
\[
\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2.
\]

Vale la pena osservare che si tratta di un’uguaglianza che coinvolge soltanto i valori principali degli argomenti e, volendola illustrare, si comincia a ritrovare
quanto noto per il campo reale, vale a dire che, considerati due numeri reali positivi \(a\) e \(b\) ed escludendo i casi banali, è possibile scrivere che
\[
\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b},
\] dato che sussiste l’uguaglianza tra gli argomenti
\[
\operatorname{Arg}(ab) = 0 = \operatorname{Arg} a + \operatorname{Arg} b = 0 + 0.
\]

Tuttavia, se i due numeri reali sono negativi, la regola non vale
\[
\sqrt{ab} \neq j\sqrt{|a|}\, j\sqrt{|b|} = -\sqrt{|a|\,|b|},
\] poiché non sussiste l’uguaglianza tra gli argomenti
\[
\operatorname{Arg}(ab) = 0 \neq \operatorname{Arg} a + \operatorname{Arg} b = \pi + \pi.
\]

Ecco spiegato il paradosso apparente, per cui si può affermare senza tema di smentita che
\[
\sqrt{(-1)\cdot(-1)} \neq j \cdot j = -1.
\]

Operando alla stessa maniera, non è difficile dimostrare che, nel caso della radice del quoziente di due numeri complessi, deve essere
\[
\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Arg} z_1 - \operatorname{Arg} z_2.
\] Sono queste regole di coerenza che consentono di evitare di fare sgraditi incontri, specialmente quando si opera con i numeri complessi.