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L’aritmetica nell’insegnamento: equazioni diofantee

Il messaggio di Luigi Verolino attraverso le equazioni diofantee: si trovi uno spazio adeguato all’insegnamento dell’aritmetica e vi si dedichi attenzione e cura.

L’immagine di copertina è appropriata, ben scelta. Presenta una donna dal corpo sinuoso in religiosa contemplazione di uno scorcio di realtà. La donna è di spalle, ma si sa che quella realtà lei la sa leggere: è Ipazia. L’immagine è stimolante, un invito forte ad andare oltre, all’interno del libro. Qui, pagina dopo pagina, il lettore è appagato nel desiderio di vedere Ipazia non solo di spalle, ma di arrivare a guardarla negli occhi, coglierne la profondità dello sguardo e la bellezza del volto.

Ipazia è da secoli icona della matematica.

Di pagina in pagina, il lettore è portato al cospetto di Ipazia, metafora del viaggio che ha intrapreso verso la matematica. Un viaggio senza fretta, perché un libro di matematica non si legge con fretta. È una lettura fatta di più soste, di interruzioni continue per guardare indietro, avere il tempo di ricorrere alla carta e matita per un disegno o un calcolo, ritrovare l’energia per andare avanti. L’itinerario non è tutto rose e fiori, talora è aspro e in salita e richiede sforzo e pazienza, anche se è stato sapientemente tracciato per lui, il lettore, studente o già esperto matematico che sia.

D’altronde “non esiste una via regia per apprendere la matematica”!

L’aforisma lo si attribuisce a Euclide che però, contrariamente all’affermazione, una via veramente regia la fissò. Da ventitré secoli è ancora percorsa a più non posso. È ancora la regina viarum della matematica e del suo insegnamento. È la strada del “se…… allora”, del metodo ipotetico deduttivo, sovrano indiscusso nei territori della matematica, della logica, dell’insegnamento.

L’itinerario segnato da Luigi Verolino è diverso.

Non è euclideo. Non muove da definizioni, nozioni comuni e postulati, e non è ritmato dall’alternanza di proposizioni e di dimostrazioni. Il punto di partenza della via Verolino alla matematica è posto nella zona dei numeri interi e dell’aritmetica. Qui, quasi a voler ristabilire una parità di genere con la presenza di Ipazia, c’è un personaggio maschile, c’è Diofanto, l’autore dell’Arithmetica. L’opera che, già famosa presso gli antichi, Pierre de Fermat impreziosì con le annotazioni registrate a margine dei fogli della sua copia personale.

Diofanto: è lui il titolare delle equazioni diofantee.

È lui il padre degli indovinelli aritmetici come l’Epitaffio di Diofanto, un epigramma per indovinare quanti anni egli visse. Gli indovinelli introducono direttamente all’arteria matematica delle equazioni diofantee che Verolino ha progettato e realizzato. Queste equazioni sono dotate di un grado di genuina naturalezza. Legate ai numeri interi, escono fuori dai problemi più comuni, e talvolta banali, della vita quotidiana delle persone. Eppure sono complesse al sommo grado. Tanto complesse che nell’agosto del 1900 non era ancora possibile dare una risposta alla domanda: tutte le equazioni diofantee sono risolubili? Così, David Hilbert la inserì al punto dieci della lista dei ventitré problemi della matematica che al momento risultavano irrisolti. La risposta al decimo problema di Hilbert è arrivata, negativa, solo nel 1970 ad opera di Jurij Vladimirovič Matijasevič ed altri. E in modo altrettanto negativo si è risolta anche la questione di poter dare soluzione alla più famosa delle  equazioni diofantee, nota come grande teorema di Fermat. La questione fu risolta nel 1994 con una dimostrazione così complessa da richiedere diversi altri anni per controllarla e riconoscerne la correttezza.

Dal semplice al complesso!

Questo  è dunque l’ordine dell’itinerario didattico tracciato da Verolino, segnato altresì da una graduale e progressiva comprensione della matematica. All’alternanza euclidea teorema/dimostrazione Verolino sostituisce quella di esercizio/soluzione. Gli esercizi sono il materiale usato per la costruzione del percorso didattico. Costituiscono il pavimento solido su cui muoversi con sicurezza insieme  con le procedure risolutive che li accompagnano, ciascuna eseguita e illustrata senza salti, con naturale e limpida chiarezza espositiva. Ciò che colpisce è poi la loro ricchezza e varietà. Non costringono a limitare lo sguardo ad ambiti angusti. Anzi, ne allargano la visione in una prospettiva effettivamente unitaria.

Nella metafora del viaggio, il piano di lavoro del libro porta a dispiegare agli occhi del viaggiatore il panorama degli immensi territori del più vasto e duraturo degli imperi possibili: la matematica. La condizione del lettore, una volta giunto al cospetto di Ipazia,  è di pari godimento estatico dell’armonia di equazioni e sistemi, lineari e non lineari, di terne pitagoriche, di discesa infinita di Fermat e metodi di Eulero, di geometria elementare e coniche, di algoritmi, funzioni esponenziali e numeri primi. Anzi, a chiudere, a sorpresa, il libro è la tavola dei numeri primi inferiori a 5000. A sorpresa, perché la scelta potrebbe apparire anacronistica: la tecnologia, da tempo, ha reso del tutto inutili la composizione e la stampa di tavole. Ma l’autore in tal modo realizza un’ulteriore saldatura. Rinsalda la coppia antico/moderno che è la più congeniale alla matematica vista, platonicamente, come totalità di ciò che sempre è e che non nasce e non perisce.

Una matematica che si fa di esercizio in esercizio, di soluzione in  soluzione, ha un vantaggio indiscutibile, pedagogicamente e psicologicamente: ogni esercizio risolto dà piacere, cancella la fatica fatta per comprenderlo e risolverlo, ricrea l’entusiasmo e la voglia di andare avanti.

Luigi Verolino nelle pagine iniziali del libro ha ricordato che Giacomo Leopardi, eroe dello studio, era del parere che non si impara mai pienamente una scienza difficile, per esempio la Matematica, dai soli libri, anche perchè gli autori difficilmente riescono a mattersi “nei piedi dello studente”. C’è anche bisogno, diceva il grande poeta, della viva voce del maestro: a lui, a Leopardi, proprio quella era mancata, la viva voce di un bravo maestro.

Luigi Verolino nel suo progetto didattico di libro di matematica è riuscito, per così dire, a dare voce a parole e simboli. Da esperto di campi elettromagnetici ha reso le pagine cariche di onde, psicologiche e pedagogiche, tali da amplificare e trasmettere in sintonia suoni e significati delle parole.  Allo stesso modo le ha rese veicolo di un altro suo messaggio: si trovi uno spazio adeguato all’insegnamento dell’aritmetica nella scuola, dalla primaria all’università, e vi si dedichi attenzione e cura.

Si veda:

Due quesiti, un pochino fuori dell’ordinario.

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