La matematica, un mondo prodigioso popolato di artifici, trucchi, magiche trasformazioni. L’esempio di un trucco per calcolare rapidamente un integrale definito.
In Pensieri Discreti, Gian-Carlo Rota ha svelato un “trucco” per calcolare rapidamente l’integrale
Ovvero semplicemente osservando che è uguale a:
e che entrambi hanno somma 2π.
Un trucco ingegnoso, ovviamente, perché evita di dover fare i soliti calcoli. Ricorrere cioè, come solitamente si fa per calcolare l’integrale indefinito, all’integrazione per parti o alle identità trigonometriche. Un metodo quest’ultimo che dal punto di vista didattico sembra avere qualche punto in più. Appare, infatti, più “formativo” della pura e semplice applicazione meccanica della formula d’integrazione per parti consistendo nella trasformazione della funzione integranda in un’altra di cui l’integrale è già noto. Ad esempio, esprimere sen2x o cos2x in funzione di cos2x, cosa possibile tenendo conto delle identità: cos2x=cos2x-sen2x e 1=cos2x+sen2x che sommate e sottratte, membro a membro, consentono di poter scrivere:
e in modo analogo:
C’è da osservare che gli integrali di sen2x e cos2x ricorrono spesso nelle applicazioni. Ad esempio nell’Elettrotecnica. L’ha ricordato Luigi Verolino facendo altresì presente di aver segnalato e spiegato lo stesso “trucco ingegnoso” di Gian-Carlo Rota ai suoi allievi e lettori. La spiegazione di Verolino è in fondo alla pagina che segue, tratta dal suo testo di Elementi di Elettrotecnica per gli ingegneri:
Estratto dal Capitolo 8
COMMENTS