Suppletiva: il Problema 2

La soluzione manoscritta del Problema 2 della seconda prova scritta di Matematica della sessione suppletiva dell’Esame di Stato 2026.

L’elaborato, sviluppato con il consueto rigore e corredato da grafici esplicativi, è stato gentilmente messo a disposizione dalle professoresse Rossana Cibelli, del Liceo Statale “Giorgio Buchner” di Ischia, e Monica Arcamone e Claudia Mazzella, docenti di Matematica e Fisica presso l’Istituto “Caracciolo – G. da Procida” di Procida, che, come già avvenuto per la sessione ordinaria, hanno voluto condividerlo con i lettori di Matmedia. Le ringraziamo per la disponibilità e la preziosa collaborazione. \(\)

Testo del Problema 2

Si considerino la funzione \(y=f(x)\), derivabile in \(\mathbb{R}\), e le funzioni

\[
g(x)=-\frac{1}{f(x)}
\]

e

\[
h(x)=f(x)+g(x);
\]

si indichino con \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\gamma_3\), rispettivamente, i grafici delle funzioni \(f\), \(g\), \(h\).

a) Dimostrare che, se \(\alpha\) e \(\beta\) sono gli zeri di \(f\), allora le rette di equazione \(x=\alpha\) e \(x=\beta\) sono asintoti sia per \(g\) che per \(h\). Spiegare perché \(\gamma_1\) non ha punti in comune né con \(\gamma_2\) né con \(\gamma_3\). Infine, dimostrare che se \(x_s\) è ascissa di un punto stazionario per \(f\), con \(f(x_s)\neq0\), allora lo è anche per \(g\) e \(h\).

b) Stabilito che \(f\) è una funzione polinomiale di secondo grado, scrivere le espressioni analitiche delle tre funzioni sapendo che \(f(0)=-1\), la retta di equazione \(x=-1\) è asintoto per \(\gamma_2\) e \(x=-\frac14\) è ascissa di un punto stazionario per \(h\).

D'ora in avanti, si ponga

\[
f(x)=2x^2+x-1.
\]

c) Si tracci il grafico \(\gamma_1\) e se ne deducano i grafici \(\gamma_2\) e \(\gamma_3\), specificando intersezioni con gli assi cartesiani, asintoti ed estremi. Verificare se le tre curve presentano flessi.

d) Determinare i coefficienti reali \(A\), \(B\) tali che

\[
g(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}.
\]

Successivamente, determinare l'area della regione delimitata da \(\gamma_2\) e dalla retta di equazione

\[
y=\frac85.
\]

Il PDF della soluzione

Correzioni, integrazioni e ringraziamenti ai colleghi che hanno inviato le loro segnalazioni

Il testo ministeriale della suppletiva