Per esercitarsi alla maturità 2025. Un problema dal Baccalauréat francese 2024: l’approfondimento concettuale delle funzioni esponenziali e l’interpretazione di un grafico.
Il problema qui proposto è un esempio di prova scritta di matematica del Baccalauréat 2024, sezione scientifica. Si articola in due parti indipendenti, entrambe centrate sulle proprietà delle equazioni differenziali e delle funzioni esponenziali – tema classico e formativo dell’analisi matematica – e con un’attenzione particolare all’analisi qualitativa e al riconoscimento grafico.
Il problema, semplice e lineare nella sua formulazione, si distingue per chiarezza, rigore e valore didattico: offre allo studente l’occasione di mettere alla prova non solo la padronanza degli strumenti analitici, ma anche la capacità di interpretazione grafica e modellizzazione – tra l’altro di saper posizionare l’unità di misura sugli assi e graduarli. Un ottimo esempio di come la matematica possa coniugare formalismo e intuizione visiva in un contesto valutativo di alta qualità.
PROBLEMA 1
Il problema è costituito da due parti indipendenti.
Parte I
Si consideri l’equazione differenziale E: y’ + y = e-x
- Sia u la funzione definita su R da u(x) = xe-x.
Verificare che la funzione u è una soluzione dell’equazione differenziale E
- Si consideri l’equazione differenziale E*: y’ + y = 0.
Risolvere l’equazione differenziale E* su R
- Dedurre tutte le soluzioni dell’equazione differenziale E su R.
- Determinare l’unica soluzione g dell’equazione differenziale E nella quale g(0)=2
Parte II
In questa seconda parte, k è un numero reale fissato che si chiede di determinare sapendo che fk e h sono due funzioni definite su R da: fk(x) = (x + k)e-x e h(x) = e-x .
Inoltre, le curve rappresentative di fk e h, denotate rispettivamente con Ck e C, sono riportate nel grafico a lato senza la specificazione di quale sia Ck e quale sia C e senza l’indicazione della unità di misura del sistema di riferimento ortogonale e monometrico.
- Delle due curve, una disegnata con linea punteggiata, l’altra piena, quale è la curva C?
- Spiegando l’approccio utilizzato, determinare il valore del numero reale k e posizionarlo su ciascuno degli assi del grafico.
Soluzione
Parte I
Si consideri l’equazione differenziale E: y’ + y = e-x
- Sia u la funzione definita su R da u(x) = xe-x, affinché la funzione u sia soluzione dell’equazione differenziale E deve essere u'(x)+u(x)= e-x
Ora: u'(x)+u(x) = (e-x +x(-1)e-x)+xe-x= e-x , dunque la funzione u è una soluzione di E.
- Si consideri l’equazione differenziale E*: y’ + y = 0, ovvero y’ = -y. L’equazione differenziale y′ = ay ha come soluzioni le funzioni x → keax con k ∈ R, quindi l’equazione E* ha come soluzioni le funzioni x → ke-x con k ∈ R.
- La soluzione generale dell’equazione E è la somma della soluzione generale dell’equazione associata E* senza il secondo membro e di una soluzione particolare di E. Se ne deduce che le soluzioni di E sono le funzioni x → ke-x + xe-x con k ∈ R.
- Cerchiamo ora l’unica soluzione di E per cui è g(0)=2. Si ha che g(0) =2 ⇔ ke0+0=2 ⇔ k = 2; dunque g(x)=(x+2)e−x.
Parte II
1. Essendo la funzione h definita da h(x)= e−x la sua derivata è definita da h′(x)=−e−x.
Dunque h′(x) < 0 su R, ovvero la funzione h è decrescente. È dunque la curva con tratto pieno ad essere il grafico di h.
2. La curva Ch taglia l’asse delle ordinate nel punto A (0; h(0)). Ma h(0)= e0 =1, dunque l’ordinata di A è 1: ecco posizionata l’unità sull’asse y. Rimane da posizionarla sull’asse x.
- La curva Cfk interseca l’asse delle ordinate nel punto fk(0)=2, ovvero (0+k)e0 =2 dunque k =2. È la curva punteggiata il grafico della funzione f2 definita da f2(x)=(x+2)e−x.
- Le due curve s’intersecano nel punto C la cui ascissa è soluzione dell’equazione f2(x)=h(x).
f2(x) =h(x) ⇔ (x+2)e−x = e−x perchè e−x =0⇔ x+2=1 ⇔ x=−1
La proiezione ortogonale H di C sull’asse delle ascissa ha coordinate (−1; 0), e questo permette di posizionare per simmetria rispetto ad O il punto unità sull’asse delle x.
Per il testo originale della soluzione, si veda: Qui
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