Una lezione di fine anno

Maturità scientifica. Una lezione di fine anno per la ricapitolazione e il potenziamento dei concetti e la preparazione all’esame.

Ricapitolazione di analisi e geometria in vista della prova scritta della maturità

Questa attività si propone come sintesi di concetti e tecniche centrali dell’analisi matematica, in linea con quanto previsto dalla prova scritta dell’Esame di Stato. La funzione proposta consente di esercitare abilità di calcolo e di interpretazione grafica, ma anche di affinare la capacità di risolvere problemi geometrici con strumenti classici e analitici.

La funzione \( f(x) = (x^2 + 1)e^{-x+2} \) può essere interessante da proporre in classe quale spunto per questa attività di ricapitolazione di concetti e procedure importanti.

Il grafico della funzione è rapidamente ottenibile (Geogebra, ad esempio) e può essere fonte di numerose e utili osservazioni.

Ugualmente agevole è il calcolo della sua derivata prima:

\[
f'(x) = (2x)e^{-x+2} + (x^2 + 1)(-e^{-x+2}) = (2x – x^2 – 1)e^{-x+2}
\]

Meno immediato è trovarne una primitiva. Tuttavia, si può suggerire la funzione:

\[
F(x) = (-x^2 – 2x – 3)e^{-x+2}
\]

e verificare, tramite derivazione, che essa sia una primitiva di \( f(x) \):

\[
F'(x) = (-2x – 2)e^{-x+2} + (-x^2 – 2x – 3)(-e^{-x+2}) = (x^2 + 1)e^{-x+2} = f(x)
\]

Il problema

Sia \( f(x) = (x^2 + 1)e^{-x+2} \) definita per ogni \( x \in \mathbb{R} \) e sia \( r \) la retta di equazione \( y = \frac{5}{2}x \).

Nel piano cartesiano, si consideri la regione \( R \) delimitata dal grafico \( \gamma \) di \( f \), dalla retta \( r \), e dalla retta \( x = 0 \).

Si chiede:

1. Determinare le coordinate dei punti A e B in cui \( \gamma \) interseca l’asse \( y \) e la retta \( r \).
2. Calcolare l’area del triangolo avente vertici A, B e l’origine (0, 0).
3. Scrivere un’espressione integrale che rappresenti l’area della regione \( R \).
4. Calcolare l’area di \( R \) approssimata al centesimo.

Soluzioni:

1. \( A(0, e^2) \), \( B(2, 5) \)
2. Area triangolo = \( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot e^2 = e^2 \)
3. Area di \( R = \int_0^2 f(x)\,dx – \int_0^2 \frac{5}{2}x\,dx \)
4. Area = \( [F(x)]_0^2 – 5 = (-4 – 4 – 3)e^0 – (-3)e^2 – 5 = 3e^2 – 16 \approx 6{,}17 \)

Estensioni e varianti possibili

• Determinare l’equazione della tangente a \( f \) nel punto di ascissa \( x = 1 \)
• Calcolare l’area tra il grafico di \( f \) e l’asse \( x \) nel tratto [0, 2]
• Studiare gli eventuali massimi o minimi relativi della funzione \( f \)

Domande per il ripasso

• Perché non è immediato trovare una primitiva di \( f \)?
• Che ruolo gioca la funzione esponenziale nella forma analitica di \( f \)?
• Quali proprietà ha \( f \)? Continua? Derivabile? Limitata?

Osservazioni sulle domande

La funzione esponenziale \( e^{-x+2} \) agisce come fattore di smorzamento del polinomio \( x^2 + 1 \), impedendone la crescita illimitata e determinando un comportamento asintotico per \( x \to +\infty \). Graficamente, questo produce una curva a campana decrescente.

La difficoltà nel trovare una primitiva esplicita di

$$f(x)=(x^2+1)e^{-x+2}$$

sta nel fatto che si tratta di un prodotto tra un polinomio e una funzione esponenziale traslata, il che in generale non produce un integrale immediato.

Ecco perché:

1. Non è una forma base “nota”

Il prodotto

$(x^2 + 1)e^{-x+2}$

non rientra tra le primitive elementari standard, come ad esempio: e^ax, xⁿe^ax ecc.

2. Il metodo diretto dell’integrazione per parti è lungo e scomodo

Per calcolare

$$\int (x^2 + 1)e^{-x+2} \, dx$$

si dovrebbe applicare l’integrazione per parti due volte, ponendo: u=x²+1 e dv=e^-x+2dx

Ma questo porta a calcoli lunghi e anche il cambio di variabile u= -x + 2 non porta vantaggi perchè complica il polinomio.