Funzioni logiche e reti neurali

Conversazione con Gemini sulla bozza delle NIN. Reti neurali nei licei: svolta culturale o semplice effetto linguistico del presente?

1. Commenta questo passo tratto dalle Nuove Indicazioni Nazionali emanate dal Ministero Istruzione e Merito

«Infine, lo studente è in grado di discutere qualche esempio di come, tramite un modello di regressione o di classificazione, basato su funzioni lineari e su semplici reti neurali, si può descrivere un fenomeno o affrontare un problema di riconoscimento. In particolare, nel contesto degli esempi considerati, lo studente comprende il problema di individuare opportuni parametri che rendano un modello adeguato agli scopi prefissati ed è in grado di descrivere alcune idee intuitive per la loro ricerca, idee che sono alla base dei primi algoritmi di apprendimento automatico nell’ambito dell’intelligenza artificiale. Negli esempi, lo studente è inoltre in grado di riconoscere i principi su cui i modelli si fondano e il tipo di conoscenza che essi consentono di ottenere sul mondo.» (Matematica – Liceo scientifico – Funzioni e modelli – Secondo biennio).

Risposta.

Questo passo rappresenta una vera e propria svolta per l’insegnamento della matematica nel Liceo Scientifico. I programmi ministeriali escono in modo esplicito dal seminato della matematica classica — analisi, geometria euclidea, algebra tradizionale — per proiettarsi direttamente nel XXI secolo, introducendo i fondamenti concettuali dell’Intelligenza Artificiale e del Machine Learning.

2. Quali opportunità di rilievo introduce nella didattica?

Risposta

• Dall’astrazione pura alla modellizzazione della realtà.
  Il ponte tra vecchio e nuovo: il testo parla di funzioni lineari (argomento del biennio) e lo collega direttamente alle reti neurali, una combinazione lineare di input (somma pesata) seguita da una funzione di attivazione.
• L’ottimizzazione e il concetto di “apprendimento”.
  Cosa significa “allenare” un’IA? Il testo centra il punto nodale del Machine Learning. “Imparare” per una macchina significa trovare i parametri (pesi e bias) ottimali.
• Epistemologia della complessità.
  Questo è forse il passaggio più profondo. Si chiede allo studente di capire che tipo di conoscenza ci danno questi modelli. I modelli di IA non offrono una certezza causale, ma una conoscenza probabilistica e statistica basata sui dati.
• Demistificazione dell’IA.
  Capire i principi su cui si fondano questi modelli serve a evitare due derive opposte: la tecnofobia e l’accettazione acritica dell’output computazionale.

3. Un esempio semplice ma istruttivo può essere l’applicazione delle reti neurali alle funzioni logiche booleane AND, NOT, OR, XOR.

Risposta.

Storicamente, questo è stato il primo vero banco di prova delle reti neurali artificiali. Nel 1943 McCulloch e Pitts dimostrarono che un singolo neurone artificiale poteva riprodurre le funzioni logiche fondamentali.

Vediamo l’esempio pratico di una rete neurale applicata all’operazione logica AND.

La tabella di verità AND prevede che l'output sia 1 (Vero) solo se entrambi gli input sono 1

La struttura della rete (Il singolo neurone)

Per risolvere questo problema basta un solo neurone artificiale con due ingressi.

1. Input (\(x_1, x_2\)): due valori logici (0 o 1).
2. Pesi (\(w_1, w_2\)): coefficienti che amplificano o riducono il segnale.
3. Bias (\(b\)): termine costante.
4. Funzione di attivazione (\(f\)): funzione a gradino di Heaviside.

\[
Output = f(x_1w_1 + x_2w_2 + b)
\]

Dove la funzione f(z) funziona così:

• Se \(z \geq 0\) → 1
• Se \(z < 0\) → 0

Per l’operazione AND:

\[
w_1 = 1 \qquad w_2 = 1 \qquad b = -1.5
\]

Come si può verificare direttamente

4. Per ottenere OR è sufficiente cambiare il valore del bias.

Risposta.

Esatto: \[
b = -0.5
\]

5. Possiamo affermare che AND e OR sono associati alla soluzione di una disequazione lineare in due variabili?

Risposta.

Sì, la tua intuizione è assolutamente corretta.

Quando applichiamo la funzione di attivazione a gradino, determinare per quali input la rete si attiva equivale esattamente a risolvere una disequazione lineare.

Esempio AND:

\[
x + y - 1.5 \geq 0
\]

La soluzione di questa disequazione è il semipiano chiuso situato sopra la retta:

\[
x + y - 1.5 = 0
\]

Nel dominio discreto delle porte logiche, l’unico punto che soddisfa questa disequazione è:

\[
(1,1)
\]

6. Possiamo affermare invece che XOR è associato alla soluzione di un sistema di disequazioni lineari?

Risposta.

Per risolvere XOR un singolo neurone non è sufficiente, perché i dati non sono separabili da una retta.

Dobbiamo passare a una rete multilivello.

Una decomposizione classica è:

\[
A \ XOR \ B = (A \ OR \ B) \ AND \ (NOT(A \ AND \ B))
\]

Il sistema di disequazioni diventa:

\[
\begin{cases}
x+y \geq 0.5 \\
x+y < 1.5
\end{cases}
\]

Geometricamente la soluzione è la regione compresa tra due rette parallele.

I punti ammessi sono:

\[
(1,0), \ (0,1)
\]

7. Tornando ai componenti matematici del singolo neurone AND, OR o NOT, come si determinano in pratica i parametri?

Risposta.

La determinazione dei parametri ( e il bias ) di un neurone o di una rete neurale è il nucleo centrale di quello che chiamiamo apprendimento automatico (Machine Learning).
Per problemi elementari come le porte logiche (AND, OR, NOT) si può procedere in due modi: analiticamente (a mano, sfruttando l'algebra lineare e la geometria) oppure tramite algoritmi di ottimizzazione (come storicamente faceva il Perceptron).
Ecco come funzionano in pratica i due metodi.

Metodo 1: Determinazione analitica

Questo è l'approccio ideale da mostrare in classe, perché si basa sul concetto di sistema di disequazioni che abbiamo appena discusso. Non c'è un calcolatore che impara, ma siamo noi a imporre i vincoli matematici.
Prendiamo l'esempio della funzione NOT (un solo input , un peso e un bias ):

• vogliamo che se \(x=0\) → output \(=1\)
• vogliamo che se \(x=1\) → output \(=0\)

Si ottiene il sistema:

\[
\begin{cases}
w\cdot0+b \geq 0 \\
w\cdot1+b < 0
\end{cases}
\]

Da cui:

\[
\begin{cases}
b \geq 0 \\
w < -b
\end{cases}
\]

Ad esempio:

\[
b=0.5 \qquad w=-1
\]

Metodo 2: Apprendimento algoritmico (la regola del Perceptron)

Nelle applicazioni reali i parametri vengono inizializzati casualmente e poi corretti attraverso cicli iterativi.

1. Inizializzazione casuale: il computer assegna dei valori di partenza totalmente casuali ai pesi e al bias
2. Predizione (Forward pass): Si inserisce un input della tabella di verità (es. l'AND con input 1, 1) e si calcola l'output del neurone con i pesi correnti. Supponiamo che il neurone calcoli
   0 (sbagliando, perché per l'AND dovrebbe fare 1)
3. Calcolo dell'Errore: L'errore è la differenza tra il valore desiderato e quello predetto:
   E = − = 1 − 0 = 1
4. Aggiornamento dei Parametri (Feedback): Si correggono i pesi con una formula stabilita.
   Questo processo viene ripetuto ciclicamente per tutte le righe della tabella di verità (un ciclo completo si chiama Epoca). Se il neurone sbaglia, i pesi si spostano leggermente per correggere il tiro; se indovina, i pesi non cambiano.

Questo processo viene ripetuto molte volte finché la rete riduce gli errori.

8. I due metodi hanno a che fare con il duplice approccio Top-Down o Bottom-Up?

Risposta.

Sì, l’analogia è molto efficace.

Il metodo analitico corrisponde a un approccio Top-Down:

• si parte dalle regole teoriche;
• il processo è deduttivo;
• i vincoli sono imposti dall’alto.

Metodo Algoritmico = Approccio Bottom-Up (Dal basso verso l'alto)

Nell'approccio Bottom-Up si parte dai dati grezzi (la base) e, attraverso l'esperienza e i tentativi, si risale verso la formulazione della regola generale (i parametri ottimali).
• Come agisce: Il neurone parte in uno stato di totale ignoranza (i pesi sono casuali). Guarda il primo dato (il "basso"), fa una previsione, sbaglia, riceve una correzione e si adatta.
Ripetendo questo ciclo miliardi di volte su una mole immensa di dati, i parametri si auto organizzano.
• È un processo induttivo, empirico ed emergente. La conoscenza non è calata dall'alto da un programmatore, ma emerge dal basso, dalle relazioni statistiche intrinseche ai dati stessi.
• È l'essenza del Machine Learning moderno. Permette di trovare soluzioni e configurazioni di parametri per problemi complessi che nessun essere umano saprebbe mai formalizzare analiticamente (es. la guida autonoma o la comprensione del linguaggio). Il modello "scopre" regole che noi non sapevamo nemmeno di dover imporre.

9. Quale potrebbe essere una riflessione epistemologica per gli studenti?

Risposta.

Questo dualismo tocca direttamente l’ultimo punto del passo delle Nuove Indicazioni che abbiamo commentato all'inizio:

«Lo studente è in grado di riconoscere i principi su cui i modelli si fondano e il tipo di conoscenza che essi consentono di ottenere sul mondo.»

Spiegare questo concetto significa far capire ai ragazzi che la transizione dall'informatica tradizionale all'Intelligenza Artificiale è proprio il passaggio da una filosofia Top-Down (io programmatore conosco le regole, le traduco in codice e il computer le esegue sui dati) a una filosofia Bottom-Up (il programmatore fornisce al computer i dati e i risultati desiderati, e l'algoritmo crea da solo le regole).