I teoremi finalisti del concorso “Il Teorema più bello organizzato dalla Mathesis per celebrare il 2000 -anno mondiale della Matematica
I L T E O R E M A P I U’ B E L L O
Chi studia Matematica sa che ogni tanto ci si imbatte in un “teorema fondamentale”. Così esiste il “teorema fondamentale dell’Aritmetica”, il “teorema fondamentale dell’Algebra”, il “teorema fondamentale della teoria dell’Integrazione” e così via.
L’aggettivo “fondamentale” è sempre giustificato perché i teoremi detti sono effettivamente molto importanti nello sviluppo matematico, a guisa dei principali nodi ferroviari nei quali si concentrano i treni provenienti da ogni parte, ma da cui ne ripartono tanti altri per tutte le direzioni.
Vi sono però alcuni teoremi, ugualmente importanti e non meno “fondamentali”, che possono confrontarsi con quelli che godono nel loro stesso titolo di un riconoscimento ormai acquisito. Non solo, vi sono altri teoremi che per il modo con cui furono raggiunti, per la storia ad essi connessa, per la semplicità della loro enunciazione, o per quella della dimostrazione, per la carica didattica e, naturalmente, per la loro importanza scientifica, ugualmente possono considerarsi fondamentali pur senza virgolette.
Ebbene, nella nostra esperienza di studiosi e di docenti, ciascuno di noi ha, per così dire, enucleato un certo ristretto numero di questi teoremi.
Talvolta v’è anche una certa simpatia personale per alcuni teoremi piuttosto che per altri.
Insomma, è verosimile che ciascuno di noi, nelle varie branche della Matematica che conosce, sia in grado di indicare quali sono per lui i teoremi più significativi, più fecondi, più “belli”.
Nell’ambito delle manifestazioni connesse al 2000, anno internazionale della Matematica, La MATHESIS organizza una selezione di tali teoremi
Fra i teoremi vincitori dei vari settori verrà successivamente scelto il vincitore assoluto, in occasione del Congresso Nazionale MATHESIS del 2000.
AUTORE E ANNO: Gauss, 1799.
TITOLO: Teorema fondamentale dell’Algebra.
ENUNCIATO: Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ammette almeno una radice.
MOTIVAZIONE: E’ un teorema basilare di interesse nei settori dell’Algebra, della Geometria e dell’Analisi Matematica. Intuito nel 1600-1700, ha avuto prima di Gauss prove non corrette (D’Alambert, Wallis). E’ stato dimostrato per la prima volta da Gauss nella sua tesi di laurea e nei successivi due secoli da molti altri autori, a partire da Argand (1814) con metodi di Analisi, Analisi complessa, Geometria e Topologia.
PROPONENTE: Sauro Tulipani.
AUTORE E ANNO: Eulero, 1777.
TITOLO: Formula di Eulero.
ENUNCIATO: ex+iy = ex (cosy + i seny)
da cui segue eiπ = -1
MOTIVAZIONI: Sulla porta della sezione dedicata alla Matematica (Salle 31) nel Palais de la Découverte di Parigi, all’inizio dei Champs Elysées, è riportata la seconda formula succitata, che riunisce in un’unica espressione i quattro numeri più importanti della Matematica del secondo millennio.
PROPONENTE: Fulvio Arcangeli.
AUTORE: Peter D. Lax.
TITOLO: Teorema di equivalenza di Lax.
ENUNCIATO: Dato un problema ai valori iniziali opportunamente “ben posto” ed uno schema alle differenze finite che soddisfi la condizione di “consistenza”, la stabilità è necessaria e sufficiente alla convergenza.
MOTIVAZIONE: Si tratta di uno dei teoremi fondamentali (se non del fondamentale) dell’Analisi Numerica. Già concepito da John von Neumann, è attribuito a P.D. Lax che lo dimostrò per metodi alle differenze, per problemi ai valori iniziali e per equazioni alle derivate parziali. E’ stato poi dimostrato anche per casi più generali (v. ad es. R. Ricthmyer).
PROPONENTE: Renato Spigler.
AUTORI E ANNO: L. Carnot e J.B.J. Delambre, 1807.
TITOLO: Legge del coseno in trigonometria sferica.
ENUNCIATO: In ogni triangolo sferico di lati a, b, c e angoli opposti A, B, C vale la relazione
cos a = cos b¨cos c + sen b¨sen c¨cos A
MOTIVAZIONI: Questa formula consente di calcolare il momento e gli azimut del sorgere e del tramonto degli astri, nonché la durata del crepuscolo in funzione della latitudine e della declinazione del Sole.
PROPONENTE: Giancarlo Bassi
AUTORI: Hadamard e De la Vallé-Poussin (Gauss ne fu precursore).
TITOLO: Distribuzione dei numeri primi
ENUNCIATO: Il numero dei numeri primi che non superno n è asintotico, per n tendente all’infinito, al rapporto n/log n.
MOTIVAZIONI: Si tratta di un teorema che, in assenza di risultati deterministici, consente di rispondere con metodi asintotici ad un importante quesito numerico.
PROPONENTE: Giancarlo Bassi
AUTORI E ANNO: Scuola Pitagorica, circa 500 a. C.
TITOLO: Incommensurabilità tra due segmenti.
ENUNCIATO: Esistono coppie di segmenti che non hanno un sottomultiplo comune.
MOTIVAZIONE: A partire da questo teorema la Matematica si distacca da una stretta connessione con la realtà materiale e diventa astratta e razionale.
PROPONENTE: Silvio Maracchia
AUTORE: Cantor.
TITOLO: L’insieme R non è numerabile.
ENUNCIATO: Non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca l’insieme dei Reali con quello dei Naturali.
MOTIVAZIONI: Il teorema, di semplice dimostrazione comprensibile anche ai ragazzi delle Superiori, mette in luce le straordinarie caratteristiche degli insiemi infiniti aprendo la strada all’ipotesi del continuo, suggestiva base di lancio per gli studiosi delle teorie degli insiemi e dell’infinito.
PROPONENTE: Franco Nuzzi.
AUTORI E ANNO: Nepero (1550-1617) ed Eulero (1748).
TITOLO: Legge di capitalizzazione continua o istantanea.
ENUNCIATO: Il montante unitario relativo al tasso di capitalzzazione istantanea Ù, con tempo iniziale t0 e tempo in cui viene calcolato il montante t, vale eÙ(t-t0)
MOTIVAZIONI: Si tratta di un importante utilizzo del numero e nella Matematica Finanziaria, che consente l’estensione al continuo della capitalizzazione discreta.
(nota personale: non ho capito perché si tratta di un “ribaltone” ed in che senso è utilizzato il termine “ontologico”).
PROPONENTE: Giancarlo Bassi
AUTORE E ANNO: John von Neumann, 1928.
TITOLO: Teorema del Minimax.
ENUNCIATO: Ogni gioco matriciale a somma costante fra due persone ha almeno un punto di minimax nelle strategie miste.
MOTIVAZIONE: Questo teorema segna la nascita della Teoria dei Giochi. E’ fondamentale sia per la svolta storica data all’analisi delle situazioni di conflitto in ambito competitivo e cooperativo, sia come punto di partenza per lo sviluppo di altre importanti discipline. Mi limiterò a citare a livello teorico la Programmazione Lineare, la Dualità e la Topologia; a livello applicativo le Scienze politiche, sociali, biologiche e soprattutto economiche: v. ad esempio il Nobel per l’Economia assegnato al matematico John Nash.
PROPONENTE: Gianfranco Gambarelli.
AUTORE E ANNO: Euclide, circa 300 a. C.
TITOLO: Infinità dei numeri primi.
ENUNCIATO: Dato un numero finito di numeri primi, ne esiste almeno un altro diverso da questi (ovvero: esistono infiniti numeri primi).
MOTIVAZIONI: Questo teorema è tanto semplice quanto fondamentale per la teoria dei numeri e, in generale, per l’intera Matematica (Perelli).
In questo teorema di facilissima dimostrazione con l’uso dell’induzione matematica (primo esempio) si ottiene l’eccezionale risultato dell’infinità di numeri di cui non si conosce la distribuzione e sui quali è basata l’Aritmetica, oltre alla Teoria dei Numeri (Maracchia).
PROPONENTI: Alberto Perelli e Silvio Maracchia.
(a cura di G. Gambarelli Bergamo)
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