La cicloide

La cicloide, Hélène de la géométrie

Se un cerchio rotola senza strisciare sopra una retta fissa, detta base– così che in ogni istante l’arco di circonferenza che si è sviluppato sulla base sarà uguale al segmento rettilineo percorso dal centro – un qualunque punto P del piano, che sia rigidamente connesso col cerchio, descrive una curva che chiamasi cicloide, e precisamente cicloide ordinaria se il punto appartiene alla circonferenza ( fig. 1), allungata (cycloides prolata, inflexa ) (fig. 2) o accorciata ( fig. 3) (cycloides curvata, nodata), se esso giace invece all’interno o rispettivamente all’esterno del cerchio. [da “La geometria analitica. Il metodo delle coordinate” di Luigi Berzolari. Manuali Hoepli Serie Scientifica 388-389. Ulrico Hoepli Editore-Libraio Della Real Casa Milano- 1911].

Questa curva  è stata oggetto di molti studi per parte di Galileo, Torricelli, Descartes, Fermat, Roberval, Pascal, Huygens, Leibniz e altri geometri del secolo XVII.

In una posizione che si assume come iniziale, siano C il centro del cerchio, O il punto di contatto del cerchio con la base, e P il punto considerato appartenente alla retta OC ( il quale coincide con O quando la cicloide è ordinaria); e si riferisca la curva ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, prendendo per origine O, per asse x la base col verso positivo nel senso del rotolamento, e l’asse y volto positivamente da O a C. In una posizione qualunque, diciamo  il centro del  cerchio,  il punto generatore della cicloide, Q il punto di contatto del cerchio con la base, ed  il punto della circonferenza in cui è venuto a porsi quel punto della medesima che inizialmente era in O ( talché per la cicloide ordinaria  coincide con  ). Sulla retta che è la posizione in cui si porterebbe l’asse y se, rigidamente connesso col cerchio, venisse trascinato con questo nel suo movimento, prendasi come verso positivo quello che da conduce a e si ponga, in valore assoluto e segno ; infine, dicasi r il raggio del cerchio, così che la cicloide sarà ordinaria, allungata, o accorciata, secondo che il valore assoluto si a sarà eguale, minore o maggiore di r.

Si trovano facilmente le espressioni delle coordinate x e y di  in funzione dell’angolo b formato dal verso positivo della retta con quello dell’asse y: angolo che è uguale e contrario a quello di cui ha ruotato il cerchio attorno al centro per portarsi dalla posizione iniziale a quella considerata.  

Invero chiamando H il piede della perpendicolare condotta  da  sulla retta  si ha

  (1)     x= OQ- H,     y = Q – H .

Ma il segmento OQ essendo uguale all’arco  Q di circonferenza è uguale in valore assoluto e segno ad rb; e il triangolo  rettangolo H dà pure in valore assoluto e segno,

  H = -a senb,      H = -a cosb

Quindi le (1) diventano

  (2)   x = rb + a senb,     y  = r + a cosb

che sono le formole cercate.

Se in esse si aumenta b di 2kp, dove k è un numero intero qualunque non cangia il valore di y, mentre quello di x cresce di  2kpr . Ciò significa che la cicloide consta di infiniti archi tutti fra loro congruenti, i quali si deducono da uno qualunque di essi mediante una traslazione di grandezza 2pr nel senso della base. Per assegnar la forma della curva basta quindi far variare b, per esempio, dallo zero a 2p.

L’equazione cartesiana della cicloide si ha eliminando tra le (2) il parametro b. La seconda di esse porge  

da cui  

ed anche

  Sostituendo nella prima delle (2), risulta come equazione della cicloide

dove, per la formola citata, spetta al radicale il segno + o il segno – secondo che nel punto considerato il prodotto a senb è positivo o negativo, epperò, se a > 0, deve prendersi il segno + nella prima metà di ogni arco di curva e il segno – nella seconda metà, e il contrario se a < 0.

Ponendo b = 0 nella seconda delle (2), si ricava: cos b= – , quindi , cioè soltanto la cicloide ordinaria e la cicloide accorciata incontrano la base.

Ancora dalla seconda delle (2) si deduce che il massimo e il minimo valore di y son raggiunti quando sia  cosb=-1 e cosb =+1, epperò tali valori di y sono  r+a ed r-a; la  curva è quindi tutta situata entro la striscia compresa fra le due rette, parallele all’asse x, aventi le equazioni y = r+a,  y = r-a.

Si potrebbe anche dimostrare che, mentre la cicloide allungata è priva di punti doppi ( punti in ognuno dei quali il punto generatore della curva viene a cadere due volte), ne hanno invece infiniti le altre due specie di cicloide.