La curva k

La curva k

In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali ( Oxy) è assegnata la curva K di equazione

Studiarla e disegnarne l’andamento dopo aver determinato, in particolare, le equazioni delle rette tangenti ad essa nel punti di ascissa 0 o nei punti estremi del dominio.

Utilizzando K, disegnare la curva L (Lemniscata del Bernoulli) di equazione

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Il dominio della funzione K è l’intervallo . 

Infatti la disequazione  è verificata quando  

La funzione K è continua  nel dominio ed è  simmetrica rispetto all’asse delle y.

Il grafico della la funzione K è interamente posto nel semipiano non negativo delle ordinate.

Le intersezioni con gli assi cartesiani sono i punti O(0,0),   e  .

La funzione K è derivabile in tutti i punti del dominio, escluso l’origine O(0,0) e i punti estremi del dominio

Esaminiamo il comportamento della derivata prima nei punti di non derivabilità di K.

L’origine O(0,0) è un punto angoloso , le cui tangenti sono le bisettrici y =x e y =-x.

Nei punti estremi del dominio si hanno due  tangente verticali . Infatti:

 , e per la simmetria della curva K rispetto all’asse delle y si ha  anche

.

Per la ricerca dei punti di massimo e minimo si può osservare che, escludendo l’origine O e i punti estremi del dominio A e B, il denominatore della derivata prima è positivo in ogni punto del dominio. Per quanto riguarda il numeratore della derivata prima si ha che  quando  , e   quando È

. La derivata prima è uguale a zero per  

In definitiva i punti sono punti di massimo per la curva K.

La tangente orizzontale al grafico è la retta di equazione  e le tangenti verticali al grafico sono le rette di equazione

Il grafico della curva K è la parte del grafico della Lemniscata del Bernoulli situata nel semipiano non negativo  delle ordinate.

Se, infatti, consideriamo l’equazione della curva K

si può osservare che l’uguaglianza è verificata quando  e se eleviamo al quadrato entrambi i membri si ha:

sviluppando il quadrato di trinomio si ottiene l’equazione della Lemniscata di Bernoulli con la condizione  .

Si poteva anche procedere diversamente, partendo dall’equazione della Lemniscata e studiandone la parte reale. Consideriamo, infatti, l’equazione della curva L:

 Si tratta di una curva simmetrica rispetto all’asse delle x e all’asse delle y, bicircolare, con tre punti doppi O(0,0) ( Biflecnodo con tangenti le bisettrici y = x e y =-x ), e i punti ciclici del piano I(1,i,0) e J(1,-i,0). La curva L interseca  l’asse x , oltre che nell’origine, nei punti   e .

Se sviluppiamo l’equazione di L e la ordiniamo rispetto alla variabile y si ha:

Determiniamo gli intervalli in cui l’equazione biquadratica ottenuta ha soluzioni reali.

Il coefficiente  

Il coefficiente .
In definitiva l’equazione biquadratica ammette  per  due soluzioni reali coincidenti, mentre per   ammette due soluzioni reali distinte date da

 dove  è proprio la curva K, mentre la curva di equazione  è la curva simmetrica di K rispetto all’asse x.