Maturità: il problema 1 della straordinaria

Matematica della Maturità 2026. La soluzione del problema 1 della prova della sessione straordinaria.

Il primo problema della prova di matematica della sessione straordinaria 2026 propone un modello per descrivere la fase finale di un’epidemia. La funzione assegnata, prodotto di un polinomio e di un’esponenziale, impegna il candidato attraverso alcuni degli strumenti fondamentali dell’analisi: determinazione di parametri, derivate, monotonia e concavità, punti di flesso e rette tangenti, comportamento asintotico e calcolo integrale.

L’impianto è dunque riconoscibile e, dal punto di vista tecnico, largamente riconducibile al programma del liceo scientifico. Meno immediata appare, tuttavia, la calibratura complessiva del problema, soprattutto per alcune formulazioni che trasferiscono sul candidato un onere interpretativo non secondario. Che cosa significa, ad esempio, che la coda epidemica registra una «decrescita minima» o una «decrescita massima»? Si deve guardare al valore della derivata prima oppure all’intensità, in valore assoluto, della diminuzione? La distinzione non è puramente terminologica, perché può condurre a formulazioni apparentemente opposte.

Anche il contesto epidemiologico, pur offrendo una cornice applicativa allo studio di funzione, richiede una certa cautela nel passaggio dal linguaggio del modello a quello del fenomeno reale. Nel punto conclusivo, per esempio, la «transizione dalla fase di declino alla fase endemica» viene fatta coincidere, per ipotesi, con il superamento verso il basso di una soglia convenzionalmente fissata allo \(0,5\%\) del valore iniziale.

Particolare attenzione richiede infine il calcolo del «numero medio di infetti giornalieri durante la fase di declino»: occorre individuare correttamente l’intervallo temporale cui riferire la media e distinguere l’integrale della funzione dal suo valore medio. È proprio su questo passaggio che una soluzione può facilmente arrestarsi al valore dell’integrale senza effettuare la necessaria divisione per l’ampiezza dell’intervallo.

Il problema offre quindi un’occasione interessante non soltanto per applicare gli strumenti dell’analisi, ma anche per interrogarsi su un aspetto essenziale di una prova d’esame: quanto deve essere affidato alla competenza matematica del candidato e quanto, invece, alla sua capacità di interpretare formulazioni che avrebbero potuto essere rese più univoche? La soluzione che segue cerca, per questo, di esplicitare anche i passaggi interpretativi, oltre a quelli strettamente computazionali.

Il testo del Problema 1

Si consideri la funzione

$$
N(t)=(at^2+b)e^{ct},
$$

con \(a,b,c\) parametri reali caratteristici del fenomeno e \(t\geq0\). Tale funzione descrive l'ultima fase di un'epidemia (coda epidemica), in cui \(N(t)\), espresso in migliaia, rappresenta il numero di individui che hanno contratto l'infezione nel giorno \(t\). Si indichi con \(\gamma\) il grafico rappresentativo di \(N\).

a) Determinare il valore dei parametri, sapendo che all'istante iniziale (picco epidemico) il modello assume valori \(N(0)=4\) e \(N'(0)=-2\) e sapendo che la pendenza del grafico si annulla in corrispondenza del secondo giorno di decrescita dell'epidemia. D'ora in avanti, indipendentemente dalle rispettive unità di misura, si ponga

$$
a=1,\qquad b=4,\qquad c=-\frac12.
$$

b) Determinare i valori \(t_m\) e \(t_M\) per i quali la coda epidemica registra una decrescita, rispettivamente, minima e massima.

c) Studiare la funzione \(N\), tracciare il grafico \(\gamma\) e scrivere le equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso. La transizione dalla fase di declino alla fase endemica avviene quando l'infezione si stabilizza; si supponga che ciò si realizzi appena i nuovi infetti giornalieri scendono sotto lo \(0,5\%\) di \(N(0)\).

d) Verificare che tale transizione avviene 20 giorni dopo che è stato registrato il picco. Determinare il numero medio di infetti giornalieri durante la fase di declino.

Soluzione

a) Determinazione dei parametri

Partiamo dalla funzione

$$
N(t)=(at^2+b)e^{ct}.
$$

Dalla condizione

$$
N(0)=4
$$

si ottiene immediatamente

$$
b=4.
$$

Pertanto

$$
N(t)=(at^2+4)e^{ct}.
$$

Calcoliamo la derivata:

$$
N'(t)=(2at+act^2+4c)e^{ct}.
$$

Dalla condizione

$$
N'(0)=4c=-2
$$

si ricava

$$
c=-\frac12.
$$

La funzione diventa quindi

$$
N(t)=(at^2+4)e^{-t/2}.
$$

Calcolando la derivata con \(c=-\frac12\), si ha

$$
N'(t)
=
\left(2at-\frac a2t^2-2\right)e^{-t/2}.
$$

La pendenza del grafico si annulla in corrispondenza del secondo giorno, quindi

$$
N'(2)=0.
$$

Pertanto

$$
\left(4a-2a-2\right)e^{-1}=0,
$$

da cui

$$
2a-2=0
$$

e dunque

$$
a=1.
$$

In definitiva,

$$
\boxed{a=1,\qquad b=4,\qquad c=-\frac12}
$$

e la funzione che descrive la coda epidemica è

$$
\boxed{N(t)=(t^2+4)e^{-t/2}},\qquad t\geq0.
$$

b) Decrescita minima e massima

La derivata prima della funzione è

$$
N'(t)
=
-\frac12(t-2)^2e^{-t/2}.
$$

Per determinare quando la decrescita è minima e massima studiamo l'andamento di \(N'(t)\). Calcoliamo quindi la derivata seconda:

$$
N''(t)
=
\frac14e^{-t/2}(t^2-8t+12)
=
\frac14e^{-t/2}(t-2)(t-6).
$$

Poiché il fattore esponenziale è sempre positivo, si ha

$$
N''(t)>0
\qquad
\text{per }0\leq t<2\quad\text{e}\quad t>6,
$$

mentre

$$
N''(t)<0
\qquad
\text{per }2<t<6.
$$

Di conseguenza \(N'(t)\) cresce nell'intervallo \([0,2]\), decresce nell'intervallo \([2,6]\) e torna a crescere per \(t>6\).

Nel secondo giorno si ha

$$
N'(2)=0,
$$

mentre nel sesto giorno

$$
N'(6)=-\frac8{e^3}.
$$

Pertanto la decrescita è minima nel secondo giorno e massima nel sesto giorno:

$$
\boxed{t_m=2,\qquad t_M=6}.
$$

In altri termini, nel secondo giorno la variazione istantanea si annulla, mentre nel sesto giorno il numero giornaliero di nuovi infetti diminuisce con la massima rapidità.

c) Studio della funzione, grafico e tangenti nei punti di flesso

Consideriamo

$$
N(t)=(t^2+4)e^{-t/2},\qquad t\geq0.
$$

La funzione è continua, derivabile e strettamente positiva per ogni \(t\geq0\). Come già osservato,

$$
N'(t)=-\frac12(t-2)^2e^{-t/2}\leq0.
$$

La funzione è dunque decrescente su tutto il proprio dominio. Il valore massimo si registra all'istante iniziale, corrispondente al picco epidemico:

$$
N(0)=4.
$$

La derivata si annulla soltanto per

$$
t=2,
$$

senza cambiare segno. Studiamo ora il comportamento della funzione per \(t\to+\infty\):

$$
\lim_{t\to+\infty}(t^2+4)e^{-t/2}
=
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^2+4}{e^{t/2}}
=0.
$$

Pertanto la retta

$$
\boxed{y=0}
$$

è asintoto orizzontale destro.

Per studiare la concavità consideriamo nuovamente la derivata seconda:

$$
N''(t)
=
\frac14e^{-t/2}(t-2)(t-6).
$$

Essa è positiva per \(0\leq t<2\) e per \(t>6\), mentre è negativa per \(2<t<6\). La funzione presenta quindi due punti di flesso, corrispondenti a

$$
t=2
\qquad\text{e}\qquad
t=6.
$$

Le rispettive ordinate sono

$$
N(2)
=
(2^2+4)e^{-1}
=
\frac8e
\approx2,94
$$

e

$$
N(6)
=
(6^2+4)e^{-3}
=
\frac{40}{e^3}
\approx1,99.
$$

I punti di flesso sono dunque

$$
F_1\left(2,\frac8e\right),
\qquad
F_2\left(6,\frac{40}{e^3}\right).
$$

Poiché

$$
N'(2)=0,
$$

il primo è un flesso a tangente orizzontale. La retta tangente in \(F_1\) ha quindi equazione

$$
\boxed{y=\frac8e}.
$$

Nel secondo punto di flesso il coefficiente angolare della tangente è

$$
m=N'(6)=-\frac8{e^3}.
$$

Pertanto l'equazione della retta tangente in \(F_2\left(6,\frac{40}{e^3}\right)\) è

$$
\boxed{
y=-\frac8{e^3}(x-6)+\frac{40}{e^3}
}.
$$

d) Transizione alla fase endemica e numero medio degli infetti

L'infezione si considera stabilizzata quando \(N(t)\) diventa minore dello \(0,5\%\) di \(N(0)=4\) migliaia, cioè di 4000 individui.

Poiché

$$
0,5\%\cdot4000=20,
$$

la soglia è di 20 individui che, espressa in migliaia, corrisponde a

$$
\frac{20}{1000}=0,02.
$$

Occorre quindi risolvere la disequazione

$$
N(t)<0,02,
$$

ossia

$$
(t^2+4)e^{-t/2}<0,02.
$$

Equivalentemente,

$$
e^{-t/2}<\frac{0,02}{t^2+4}.
$$

La disequazione può essere risolta mediante una calcolatrice grafica. In alternativa, possiamo considerare alcuni valori della funzione:

Poiché \(N(t)\) è decrescente, al ventesimo giorno il numero giornaliero di nuovi infetti è sceso al di sotto della soglia di \(0,02\) migliaia, cioè di 20 individui.

Pertanto la transizione alla fase endemica avviene, come richiesto, 20 giorni dopo il picco epidemico. Calcoliamo ora il numero medio degli infetti giornalieri durante la fase di declino, cioè nei primi 20 giorni. Il valore medio della funzione nell'intervallo \([0,20]\) è

$$
\overline N
=
\frac1{20}
\int_0^{20}(t^2+4)e^{-t/2}\,dt.
$$

Calcoliamo innanzitutto l'integrale

$$
\int_0^{20}(t^2+4)e^{-t/2}\,dt.
$$

Integrando due volte per parti e osservando che

$$
\int e^{-t/2}\,dt=-2e^{-t/2}+C,
$$

si ottiene

$$
\int(t^2+4)e^{-t/2}\,dt
=
-2e^{-t/2}(t^2+4t+12)+C.
$$

Pertanto

$$
\begin{aligned}
\int_0^{20}(t^2+4)e^{-t/2}\,dt
&=
\left[
-2e^{-t/2}(t^2+4t+12)
\right]_0^{20}\\
&=
24-\frac{984}{e^{10}}\\
&\approx23,955.
\end{aligned}
$$

Questo valore rappresenta l'integrale della funzione nell'intervallo \([0,20]\). Per ottenere il numero medio giornaliero occorre dividerlo per l'ampiezza dell'intervallo:

$$
\overline N
=
\frac1{20}
\left(
24-\frac{984}{e^{10}}
\right)
\approx1,198.
$$

Poiché \(N(t)\) è espresso in migliaia di individui, il numero medio di infetti giornalieri durante la fase di declino è quindi di circa

$$
\boxed{1198\text{ individui al giorno}}.
$$o}}.
$$