Sul quesito 8 della straordinaria

Matematica 2024. Sul quesito 8 assegnato nella sessione straordinaria degli esami di Stato 2024.

Il quesito 8 della prova straordinaria di settembre:

Accantono il “cappello” relativo ad un pensiero di Paolo Giordano, che con il quesito c’entra poco o nulla, e affronto il quesito:
«Si considerino la funzione f(x) = x^p e la sua derivata (p – 1)-esima f ^p−1. Si può dimostrare che, se p è un numero primo, allora p divide f ^p−1 + 1. Verificare la correttezza di tale affermazione per tutti i numeri primi minori di 10.»
Si costata subito che la proposizione se p è un numero primo, allora p divide f ^p−1 + 1 è falsa.
Basta osservare che per p=2 si ha: f(x) = x² e f′ = 2x, per cui f′ + 1 = 2x + 1 e questo binomio non è certamente divisibile per 2.
Più in generale, si dimostra che è: f ^p−1 + 1 = p! x + 1 e si capisce che il binomio non è divisibile per p.
Ora, non so come mai sia stato proposto un quesito “sbagliato”; probabilmente un attimo di distrazione da parte dell’autore. E non sarò certo io a criticarlo per questo, considerato che anche a me è capitato in passato di prendere qualche cantonata.
Ad ogni buon conto, ipotizzo che la traccia corretta dovesse essere la seguente:
Si considerino la funzione f(x) = x ^p−1 e la sua derivata (p – 1)-esima f ^p−1. Si può dimostrare che, se p è un numero primo, allora p divide f ^p−1 + 1. Verificare la correttezza di tale affermazione per tutti i numeri primi minori di 10.
Le verifiche sono un’operazione piuttosto banale, per cui non mi soffermo su di esse.
Ma, anche se il quesito non lo richiede, intendo ugualmente soffermarmi sulla dimostrazione della proposizione così come l’ho formulata.

Dimostrazione della proposizione

Si ha in successione:
f′ = (p−1) x ^p−2 ,
f′′ = (p−1)(p−2) x ^p−3 ,
f′′′ = (p −1)(p−2)(p−3) x ^p−4 ,
……………………………….. ,
f^p−2 = (p−1)(p−2)(p−3)∙∙∙(p−(p−2)) x ^p−(p−1),
f^p−1 = (p−1)(p−2)(p−3)∙∙∙(p−(p−1)) x ^p−p,
vale a dire:

f ^p−1 = 1∙2∙3∙∙∙(p−2)∙(p−1) = (p−1)!

Dunque:

f ^p−1 +1 = (p−1)!+1 .

Ricordiamo adesso una formulazione idonea del noto (ma non agli studenti liceali) teorema di Wilson:
«Se e solo se p è un numero primo il numero (p − 1)! + 1 è divisibile per p».
Cosicché, in virtù di questo teorema, se p è un numero primo, allora p divide f ^p−1 + 1 e la proprietà risulta dimostrata. Ma, lo ribadisco, agli studenti esaminandi non era richiesta questa dimostrazione, ma solo alcune verifiche.