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Tra le proposte didattiche, un problema di geometria solida

Un problema di geometria solida che coinvolge la media aritmetica delle ampiezze degli angoli delle n facce di un poliedro convesso.

Si propone un problema di geometria solida un po’ diverso da quelli che solitamente costituiscono oggetto di studio da parte degli studenti. L’augurio è che qualcuno di loro sia in grado di risolverlo. In ogni caso, qualche “spintarella” da parte dell’insegnante potrebbe essere utile.

Il problema:

Considerato un qualsiasi poliedro convesso, sia M la media aritmetica delle ampiezze degli angoli delle sue facce. Dimostrare che M è compresa fra due estremi: quello inferiore è incluso mentre quello superiore è escluso. Determinare questi estremi.

Guida per la risoluzione.

Al fine di consentire agli studenti di familiarizzare con la richiesta del problema, può essere utile proporre loro in via preliminare il calcolo di M in qualche caso particolare, preceduto da alcune domande orientatrici.

  • Per esempio: In una piramide quadrangolare, quante sono le facce, compresa la base? Quanti sono complessivamente gli angoli di tali facce? Quanto vale la somma delle ampiezze di questi angoli? Qual è la loro media aritmetica M?

Se tutto è stato fatto a dovere, si troverà M=67°30’.

  • Stesse domande per un tronco di piramide quadrangolare. Si troverà M=90°.

La risoluzione del problema, dopo tali verifiche, dovrebbe essere più abbordabile, ma resta pur sempre ardua. L’aiuto del docente non deve mancare. Ecco comunque un procedimento risolutivo.

S’incomincia a ragionare sull’estremo inferiore, il cui calcolo è abbastanza semplice.

  • Quali facce hanno il minimo numero di angoli? Qual è il poliedro che ha il minimo numero di facce? Quanto vale la somma delle ampiezze degli angoli di questo poliedro? Quanto vale la loro media aritmetica M?

Se tutto è stato fatto correttamente, si troverà M=60°.

Il ragionamento per la determinazione dell’estremo superiore è più complicato.

  • Si costata anzitutto che la somma delle ampiezze degli angoli che confluiscono in uno stesso vertice di un qualsiasi poliedro è certamente minore di 360°. Perché?
  • Qual è il minimo numero di angoli che confluiscono in uno stesso vertice di un qualsiasi poliedro?
  • Se μ è la media aritmetica delle ampiezze degli angoli che confluiscono in uno stesso vertice di un qualsiasi poliedro, risulta μ < 120° . Perché?

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