Una curiosità matematica rimasta tale per due secoli

Dalla soluzione dell’equazione \(x^x = a\) alla storia della trasformata W di Lambert: una trasformazione rimasta nascosta per due secoli.

Il problema di risolvere l'equazione trascendente \(x^x = a\) è un classico che non può essere risolto con le funzioni elementari, come logaritmi o potenze semplici. Si risolve ricorrendo a una funzione speciale, capace di agire come una trasformazione che rende il problema risolvibile. Questa funzione è la Funzione W di Lambert (o funzione Omega). Ecco i passaggi della trasformazione per isolare la x.

La Trasformazione (Funzione W di Lambert)

La Funzione W di Lambert, definita \(W(z)\), è data come funzione inversa della funzione \(f(w) = w·e^w\). In altre parole, se: \(z = w·e^w\) allora, per definizione, si ha \(w= W(z)\). L'obiettivo della trasformazione è portare l'equazione \(x^x = a\) nella forma \(w·e^w = z\).

Applicazione per passi elementari all'Equazione \(x^x = a\)

Passo A: Applicare il Logaritmo Naturale
Partiamo dall'equazione data: \(x^x = a\)
Applichiamo il logaritmo naturale ln a entrambi i membri: \(ln(x^x) = ln(a)\)
Per la proprietà dei logaritmi \(ln(b^c) = c·ln(b)\), otteniamo: \(x·ln(x) = ln(a)\)

Passo B: Trasformare x in un Esponenziale
Dobbiamo far comparire la base e per sfruttare la definizione della Funzione W.
Sappiamo che \(x\) può essere sempre scritto come \(e^{ln(x)}\).
Sostituiamo x con \(e^{ln(x)}\) nel primo membro: \(e^{ln(x)}·ln(x) = ln(a)\)

Passo C: Applicare la Funzione W
L'equazione è ora nella forma desiderata \(w·e^w = z\), dove: \(w = ln(x)\) e \(z = ln(a)\). Applicando la Funzione W di Lambert a entrambi i membri (in modo tale da invertire l'espressione \(w·e^w\), dove \(w=ln(x)\): \(W(e^{ln(x)}·ln(x)) = W(ln(a))\)
E quindi: \(ln(x) = W(ln(a))\)

Passo D: Isolare la x
Per trovare x, eleviamo e a entrambi i membri: \(x = e^{W(ln(a))}\) e, infine, si va a verificare che questa è la soluzione.

Un modo alternativo ed equivalente di risolverla per poi generalizzarla

Una soluzione equivalente (se \(a≠1\)), e più compatta, si ottiene manipolando l'ultima forma. Proprio dalla definizione \(z = W(z)·e^{W(z)}\), si ha che: \(e^{W(z)} = z/W(z)\).
Sostituendo z con \(ln(a)\), otteniamo la soluzione finale per x che è \(x = ln(a)/W(ln(a))\).
In sintesi, la soluzione all'equazione \(x^x = a\) è data da: \(x = ln(a) / W(ln(a))\). Dove \(W(ln(a))\) è la Funzione W di Lambert applicata a \(ln(a)\).

Poiché la funzione di Lambert non è iniettiva si definiscono due rami là dove lo sarà e, volendo usare y al posto di w (piccolo) per evitare confusione, ecco che il procedimento per risolvere \(x^x=a\) attraverso il passaggio ai logaritmi naturali \(x·ln(x)=ln(a)\) pone \(y:=ln(x)\) e così, poiché \(x=e^y\), abbiamo \(e^y·y=ln(a)\) che si risolve con y reale solo se \(ln(a) ≥ -1/e\) ovvero \(a ≥ e^{(-1/e)}\). Per cui se \(ln(a) ≥ 0\), ovvero \(a ≥ 1\), si ha la sola soluzione \(y=W₀(ln(a))\), essendo \(W₀(y·e^y)=y\), di conseguenza \(ln(x)=W₀(ln(a))\) è \(x=e^{W₀(ln(a))}\). Mentre la dove sia \(-1/e ≤ ln(a) < 0\), ovvero \(e^{(-1/e)} ≤ a < 1\), avremo allora due soluzioni: \(x₀=e^{W₀(ln(a))}\),
\(x₁=e^{W₁(ln(a))}\) sui due rami della W di Lambert come si vede dalla figura

Lo stesso argomento possiamo poi generalizzarlo con l'esponenziazione iterata dove si fa problematica la valutazione, se ha senso, della funzione:
\(h(z) := z^{z^{z^{\dots}}} = z^{z^{\infty}}\).

Eulero fu il primo a dimostrare che l'iterazione converge per \(e^{-e} \le z \le e^{1/e}\) reale.

Invece non è altrettanto noto che la funzione \(h(z)\) ha un'espressione in forma chiusa data da: \(h(z) = W(-\ln(z))/(-\ln(z))\) come si può vedere, risolvendo \(h(z) = z^{h(z)}\) per \(h(z)\) attraverso i logaritmi con la trasformazione W e cominciando a risolvere equazioni con torri di potenze
come \(\bigl(\,\cdots((z^z)^z)\cdots\,\bigr)^z = z^{z^{\dots^{z}}}\).

Questa funzione speciale W permette di "srotolare" l'esponente che dipende dalla base, risolvendo comunque così l'equazione.

La storia di questa risoluzione e della Funzione W di Lambert è affascinante e coinvolge due giganti della matematica del XVIII secolo, seppure alla funzione sia stato assegnato il suo nome e la sua fama solo molto più tardi. Lambert è ricordato con un premio biennale della Società Svizzera di Statistica: [VEDI]

Breve riassunto dell’evoluzione storica della Funzione W di Lambert

Johann Heinrich Lambert (Anni '50 del Settecento)
La funzione prende il nome dal matematico svizzero-tedesco Johann Heinrich Lambert (1728–1777) che diede il suo contributo studiando equazioni come \(x = x^m + q\) e poi altre equazioni trascendenti (quelle che contengono la variabile nella base e ad esponente, come \(x^x=a\)), sviluppò per primo la serie di potenze (nota oggi come Serie di Lambert) per risolvere tali equazioni.
Il Concetto: Lambert intuì la necessità di una funzione inversa per esprimere la
soluzione, ma non la definì formalmente né le diede un nome specifico. Il suo lavoro era focalizzato sulle serie infinite per approssimare le radici.

Leonhard Euler (Anni '80 del Settecento)
Circa trent'anni dopo, il concetto venne ripreso e formalizzato da Leonhard Euler (1707–1783). Eulero studiò in modo approfondito l'equazione \(y = a^y\) e definì esplicitamente l'inversa della funzione \(f(w) = w*e^w\). L'obiettivo di Eulero era quello di risolvere una classe più ampia di equazioni che non potevano essere risolte coi soli logaritmi. La Soluzione all’equazione \(x^x=a\): La soluzione che abbiamo trovato per \(x^x=a\) (o per l'equazione simile \(x = a^x\)) è, di fatto, una conseguenza diretta e naturale del lavoro pionieristico di Eulero. È stato lui a stabilire le basi teoriche per la risoluzione di tali equazioni trascendenti.

La Nascita della "Funzione W di Lambert" (XX Secolo)

Nonostante i contributi fondamentali di Lambert ed Eulero, la funzione rimase una curiosità matematica o uno strumento di nicchia per circa due secoli. Il Nome "Funzione W di Lambert" e la notazione \(W(z)\) sono stati adottati e standardizzati solo alla fine del XX secolo, principalmente negli anni '90 del secolo scorso. Le soluzioni dell'equazione trinomiale \(W(z)*exp(W(z))=z\) potevano restare semplici curiosità senonché, attraverso le pubblicazioni di Robert Corless, G. H. Gonnet e Donald Knuth, la funzione W è stata così riscoperta e formalizzata quando questi matematici e informatici (interessati ai
problemi legati all'enumerazione degli alberi e all'analisi combinatoria) ne dimostrarono l’utilità in molteplici campi. L’inclusione nelle librerie matematiche standard (come Maple e Mathematica) ne ha definitivamente sancito il riconoscimento formale e diffuso.
L'equazione \(x^x = a\) può avere zero, una o due soluzioni reali, a seconda del valore di a, esito determinato, nel campo dei numeri reali positivi, dal minimo della funzione \(f(x)=x^x\).

Nota finale

Il Premio Johann Heinrich Lambert (in tedesco Johann-Heinrich-Lambert-Preis) è un riconoscimento biennale conferito dalla Società Svizzera di Statistica (SSS) ai giovani statistici. Premio dedicato proprio a Lambert per almeno due ragioni fondamentali che legano la sua figura alla Svizzera e alla disciplina statistica: da una parte il suo legame storico con la Svizzera sebbene oggi Mulhouse si trovi in Francia, quando Johann Heinrich Lambert vi nacque nel 1728, la città era una repubblica libera associata alla Confederazione Svizzera (un Zugewandter Ort).

Lambert trascorse inoltre anni formativi cruciali lavorando quale precettore a Basilea e Coira. La dedica rivendica l'appartenenza
di questo "genio universale" alla storia scientifica elvetica; dall’altra il suo ruolo di pioniere della Statistica Lambert non solo matematico e fisico, egli fu un vero precursore della statistica moderna. Ben prima che tale disciplina venisse formalizzata, Lambert introdusse concetti rivoluzionari come il metodo della massima verosimiglianza utilizzando principi che anticipavano questo metodo fondamentale (poi formalizzato da Fisher secoli dopo) per analizzare gli errori di misurazione, formulò la Teoria degli errori al fine di trattare scientificamente l'affidabilità delle osservazioni sperimentali e giustificare l'uso della media aritmetica per minimizzare l'errore nelle distribuzioni simmetriche.

Lambert incarna l'ideale di uno scienziato che unisce rigore teorico e impatto pratico, esattamente le qualità che la Società Svizzera cerca di premiare nei giovani ricercatori di oggi. Sul sito citato si trovano ulteriori indicazioni, in particolare i profili dei vincitori del Premio Lambert.

La scelta della lettera W non è, come detto, dovuta a Lambert, ma è stata adottata inizialmente dagli sviluppatori di Maple dove è disponibile coi comandi \(LambertW(x)\) o \(LambertW(0, x)\) del ramo principale. Nell'articolo del 1996, gli autori confermarono la scelta notando, quasi per serendipità, che la W onorava anche il matematico E. M. Wright, che aveva studiato a fondo le proprietà asintotiche di funzioni simili.

Riferimenti

R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, D. E. Knuth, "On the Lambert
W function", Advances in Computational Mathematics, 5 (1996), pp. 329-359.
https://stat.ch/fr/lambert_award
https://it.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_W_di_Lambert
https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
https://www.wolframalpha.com/input?i=Lambert+W+function
https://www.johndcook.com/blog/2021/11/14/solving-equations-with-lambert-w
https://www.uwo.ca/apmaths/faculty/jeffrey/pdfs/W-adv-cm.pdf