Dal problema della Maturità ’74 al teorema di Cayley–Bacharach: una proprietà sorprendente delle cubiche tra algebra, geometria e didattica.
Un problema assegnato agli esami di maturità scientifica negli anni ‘70 (sessione suppletiva 1974), poneva una questione riguardante una semplice funzione polinomiale di terzo grado:
«Si consideri la curva di equazione \( y = x(x - 2)^2 \) e siano A, B, C i suoi punti di intersezione con la retta di equazione \( y = x \). Se \( A', B', C' \) sono gli ulteriori punti comuni alla curva ed alle rette tangenti ad essa condotte rispettivamente per A, B, C, si verifichi che \( A', B', C' \) sono allineati».
In una raccolta di temi d’esame, un testo a cura di Alessandro Maggi e Giuseppe Spinoso – Casa Editrice R. Sandron –, gli autori completavano la soluzione del problema con il suggerimento di operare alcune opportune generalizzazioni:
- effettuare alcune verifiche dirette, con valori diversi dei parametri dell’equazione della cubica o della retta;
- dimostrare la proprietà:
«Dati tre punti allineati su una curva di equazione \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) con \( a \neq 0 \), le tangenti in quei punti intersecano la curva in ulteriori tre punti (detti tangenziali) che risultano allineati».
Anche a distanza di anni, il commento alla soluzione di questo problema, semplice ma interessante dal lato concettuale, può fornire l’occasione per un percorso didattico che consente di coinvolgere Algebra, Analisi e Geometria e, se lo si ritiene opportuno, di sconfinare nell’ambito della Geometria algebrica.
In realtà, la proprietà dell’allineamento dei punti tangenziali, su una cubica, va al di là del caso particolare proposto dal testo, essendo una conseguenza del Teorema di Cayley–Bacharach, un teorema spesso utilizzato in Geometria algebrica per dimostrare alcune proprietà proiettive delle cubiche.
Il teorema di Cayley–Bacharach per le cubiche
Teorema (Cayley–Bacharach) riferito alle cubiche.
Sia \( k \) un campo algebricamente chiuso e si considerino 9 punti (distinti) nel piano proiettivo \( \mathbb{P}^2(k) \) che siano l'intersezione di due cubiche \( \Gamma \) e \( \Gamma_1 \).
Allora, ogni cubica \( C \) che passi per 8 qualsiasi dei punti, passa necessariamente anche per il nono. [«8 implica 9»]
Il risultato, che può sembrare sorprendente, si può spiegare in modo intuitivo:
se consideriamo solo 8 dei 9 punti comuni, le due cubiche \( \Gamma \) e \( \Gamma_1 \) generano un fascio avente come punti base gli 8 punti scelti. Ogni cubica del fascio può essere scritta come combinazione lineare delle due curve generatrici:
\[
\Gamma_2 = \lambda \Gamma + \mu \Gamma_1, \quad \lambda, \mu \in k,
\]
e passa per gli 8 punti base. Poiché le equazioni di \( \Gamma \) e \( \Gamma_1 \) sono soddisfatte dalle coordinate del nono punto, lo stesso accade per una qualsiasi loro combinazione lineare.
Estensione alle curve ellittiche
La proprietà dei tangenziali si può estendere, in particolare, alle curve ellittiche, cubiche non singolari di equazione
\[
y^2 = x^3 + bx + c.
\]
In quest’ultimo caso la definizione di un’operazione di somma tra i punti della curva e la costruzione di una struttura di gruppo abeliano consentono una dimostrazione semplice ed elegante.
Per sommare due punti \( P(x_1,y_1) \) e \( Q(x_2,y_2) \), si traccia la retta che li congiunge. Poiché \( P \) sicuramente non è un punto doppio, questa retta intersecherà la curva in un terzo punto \( R \). Il risultato della somma, \( P + Q \), è il punto \( S \), simmetrico di \( R \) rispetto all’asse \( x \).
L’elemento neutro \( O \) coincide con il punto improprio dell’asse \( y \) e l’opposto di \( P \) è il suo simmetrico rispetto all’asse \( x \).
Se \( P \equiv Q \) la retta secante \( PQ \) è sostituita dalla tangente in \( P \), la quale è sempre definita univocamente, essendo la cubica non singolare.
Secondo la legge di gruppo così definita, tre punti \( P, Q, R \) appartenenti alla cubica sono allineati se e solo se soddisfano la relazione
\[
P + Q + R = O.
\]
Se \( P' \) è il tangenziale del punto \( P \), cioè l’ulteriore intersezione della tangente in \( P \) con la curva, vale la relazione
\[
P + P + P' = O,
\]
ovvero
\[
P' = -2P.
\]
In modo analogo si trova \( Q' = -2Q \) e \( R' = -2R \). Pertanto,
\[
P' + Q' + R' = (-2P) + (-2Q) + (-2R) = -2(P + Q + R) = O.
\]
Il caso di una cubica polinomiale
Interessante è il confronto con i punti appartenenti a una cubica polinomiale. Si dimostra che la condizione di allineamento per tre punti \( A, B, C \), appartenenti alla cubica di equazione
\[
y = ax^3 + bx^2 + cx + d,
\]
è
\[
x_A + x_B + x_C = -\frac{b}{a},
\]
costante che non dipende dai parametri della retta che li contiene.
Intersecando la cubica con la retta
\[
y = m_A x + q_A,
\]
tangente nel punto \( A \), si ottiene l’equazione risolvente
\[
x^3 + bx^2 + (c - m_A)x + (d - q_A) = 0.
\]
Le radici di questa equazione sono \( x_A \) (contata due volte, per la tangenza) e l’ascissa \( x_{A'} \) dell’ulteriore punto di intersezione. Per le formule di Viète, la somma delle radici è ancora
\[
k = -\frac{b}{a},
\]
ossia
\[
x_A + x_A + x_{A'} = -\frac{b}{a} = k.
\]
L’ascissa di \( A' \) è dunque
\[
x_{A'} = k - 2x_A.
\]
Analogamente, otteniamo le ascisse per \( B' \) e \( C' \):
\[
x_{B'} = k - 2x_B, \qquad x_{C'} = k - 2x_C.
\]
Pertanto
\[
x_{A'} + x_{B'} + x_{C'} = 3k - 2(x_A + x_B + x_C) = 3k - 2k = k.
\]
Poiché la somma delle ascisse dei tre punti è uguale a \( k \), ne consegue che \( A', B', C' \) sono allineati.
Proposte per attività laboratoriali
- La risoluzione del quesito della suppletiva ’74 (metodo analitico e metodo sintetico mediante il teorema di Cayley–Bacharach);
- Verifiche dirette della proprietà dei tangenziali su una cubica polinomiale (con il supporto di software di geometria dinamica o di calcolo simbolico);
- Congettura sulla condizione di allineamento di tre punti sulla cubica e dimostrazione della sua validità (metodi algebrici – formule di Viète);
- Estensione alle curve ellittiche.
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