Binet Reloaded il 23 Novembre: Generalizzare Fibonacci in pochi Passaggi. Formula generalizzata di Binet con la trasformata Z
Non c'è modo migliore di celebrare il Fibonacci Day, il 23 novembre (1, 1, 2, 3), che sporcarsi le mani con un po' di matematica discreta. Provo a ricavare la formula chiusa per la successione generalizzata di Fibonacci che generalizza la Formula di Binet con parametri i due termini iniziali (F0=0, F1=1).
Per derivare la formula chiusa della successione generalizzata, possiamo utilizzare la Trasformata Z. Questo è lo strumento più elegante che si usa per risolvere equazioni alle differenze lineari.
0. Definizione del Problema
Vogliamo trovare l'espressione esplicita per il termine n-esimo gn di una successione definita dalla ricorrenza di Fibonacci, ma con condizioni iniziali arbitrarie.
Equazione alle differenze: \( g_{n+2} = g_{n+1} + g_n \) per \( n \ge 0 \).
Condizioni iniziali (parametri): \( g_0 = a \), \( g_1 = b \).
1. Applicazione della Trasformata Z
Applichiamo la Trasformata Z, indicata con \( Z[\cdot] \), ad entrambi i membri dell'equazione. Ricordiamone le proprietà fondamentali:
a) Linearità: \( Z[a_n + b_n] = A(z) + B(z) \)
b) Anticipo temporale: \( Z[a_{n+1}] = z A(z) - z a_0 \)
c) Trasformata del gradino unitario (costante 1): \( Z[1] = \frac{z}{z-1} \)
Per la proprietà di anticipo (shift):
\( Z[g_n] = G(z) \),
\( Z[g_{n+1}] = z G(z) - z g_0 \),
\( Z[g_{n+2}] = z^2 G(z) - z^2 g_0 - z g_1 \)
Sostituendo nella ricorrenza resa omogenea \( g_{n+2} - g_{n+1} - g_n = 0 \) si passa alla trasformata:
\[
z^2 G(z) - z^2 a - z b - (z G(z) - z a) - G(z) = 0
\]
2. Risoluzione algebrica per \( G(z) \)
Raggruppiamo i termini con \( G(z) \) a sinistra e portiamo i termini noti a destra:
\[
(z^2 - z - 1) G(z) = z^2 a + z b - z a
\]
da cui
\[
G(z) = \frac{z^2 a + z b - z a}{z^2 - z - 1}
\]
Per facilitare l'anti-trasformazione (inversione), conviene dividere tutto per z, in modo da preparare la scomposizione in fratte semplici:
\[
\frac{G(z)}{z} = \frac{z a + b - a}{z^2 - z - 1}
\]
Il denominatore è il polinomio caratteristico di Fibonacci. Le sue radici sono la sezione aurea \( p = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) e il suo coniugato \( P = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) che ci portano a poter scrivere:
\[
\frac{G(z)}{z} = \frac{z a + b - a}{(z - p)(z - P)}
\]
3. Scomposizione in Fratti Semplici
Cerchiamo due costanti A e B tali che: \[ \frac{G(z)}{z} = \frac{A}{z-p} + \frac{B}{z-P} \]
Calcoliamo i distinti residui, tenendo conto che \( p - P = \sqrt{5} \) e che \( p + P = 1 \):
Per A: moltiplica \((z-p)\), (polo in \( z=p \))
\[
A = \frac{p a + b - a}{p - P}
= \frac{(p-1)a + b}{\sqrt{5}}
= \frac{b - P a}{\sqrt{5}}
\]
Per B: moltiplica \((z-P)\), (polo in \( z=P \))
\[
B = \frac{P a + b - a}{P - p}
= \frac{(1-P)a - b}{\sqrt{5}}
= \frac{p a - b}{\sqrt{5}}
\]
5. Anti-trasformazione (Formula Chiusa)
Ora ricomponiamo \( G(z) = A \frac{z}{z-p} + B \frac{z}{z-P} \) e, poiché ricordo che la trasformata inversa di \( \frac{z}{z-k} \) è \( k^n \), anti-trasformiamo ottenendo:
\[
g_n = A p^n + B P^n
\]
Sostituiamo i valori di A e B trovati:
\[
g_n = \frac{b - P a}{\sqrt{5}} p^n + \frac{p a - b}{\sqrt{5}} P^n
\]
Raggruppando per i parametri \( a \) e \( b \):
\[
g_n = b \frac{p^n - P^n}{\sqrt{5}}
+ a \frac{p P^n - P p^n}{\sqrt{5}}
\]
Il termine moltiplicato per b è esattamente la Formula di Binet classica:
\[
F_n = \frac{p^n - P^n}{\sqrt{5}}
\]
Mentre per il termine di a, ricordando che \( pP = -1 \) possiamo scrivere \( P = -1/p \) e \( p = -1/P \)
per cui
\[
p P^n - P p^n
= -P^{n-1} + p^{n-1}
= F_{n-1}
\]
In conclusione, sostituendo i termini semplificati, otteniamo l'elegante generalizzazione della Formula di Binet:
\[
g_n = b F_n + a F_{n-1}
\]
Dove \( F_n \) sono i classici numeri di Fibonacci (F0=0, F1=1, … ).
Questa formula dimostra che qualsiasi successione di tipo Fibonacci è una combinazione lineare della successione standard, pesata dai due termini iniziali che vengono scelti.
Questo passaggio tramite la Trasformata Z è un metodo potente perché trasforma una convoluzione discreta in una semplice moltiplicazione algebrica.
Riferimenti
#FibonacciDay2025 https://www.matmedia.it/fibonacci-day
1. I Numeri di Fibonacci, N. N. Vorobyov, Progresso Tecnico Editoriale, Milano, 1965
2. Formula per la determinazione della successione generalizzata di Fibonacci, a cura di Eugenio Amitrano, vedi su: successionegeneralizzatadiFibonacci.pdf
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