Teoria degli insiemi alla maturità

La teoria degli insiemi nell’insegnamento e nella cultura. La presenza degli insiemi nella prova scritta di matematica della maturità scientifica.

La teoria degli insiemi è un tema così importante nella storia, nella filosofia, nella letteratura, non solo matematica, che non occorre certamente chiedersi perché lo sia stata in modo così prorompente nella pedagogia, nella psicologia e nella didattica. Su Matmedia più volte se ne è parlato: qualche anno fa con riguardo alla sua presenza nell’insegnamento e nelle prove d’esame e, successivamente, in relazione alle nuove idee, ad esempio, quelle professate dal filosofo e matematico Alain Badiou.

Il quesito seguente, certamente formulato nel linguaggio degli insiemi, riguarda il fondamentale concetto di funzione.

“Dati  gli insiemi A={1,2,3,4} e B= {a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?”

Il quesito compare nel questionario della prova scritta di matematica della sessione ordinaria degli esami di maturità del 2004. Con sorpresa fu constatato (si veda in : Idiosincrasìa per gli Insiemi) che fu il quesito più difficile per gli studenti dell’indirizzo d’ordinamento e lo fu anche, sebbene in modo più contenuto, negli indirizzi sperimentali, dove pure i programmi d’insegnamento prevedevano la trattazione degli insiemi unitamente a strutture, trasformazioni geometriche, insiemi infiniti, sistemi assiomatici, ecc..

La difficoltà? Qualcuno la individuò nella formulazione nello stile degli insiemi. Il linguaggio insiemistico aveva spinto ad evitare il quesito. Il meno affrontato in termini assoluti.

Era certamente una prova manifesta di quanto si fosse andata via via radicando e diffondendo una certa ritrosia a parlare di insiemi come reazione alle esagerazioni dei decenni passati. Una realtà che traspariva anche dalle prove di esame e dai vari test di valutazione le cui formulazioni utilizzavano raramente gli insiemi, il loro linguaggio e notazioni.

In quell’anno 2004 i risultati dell’Indagine Matmedia presentavano la questione in modo abbastanza chiaro. Si trattava di una questione di cultura generale che bisognava risolvere. Da allora non mancarono pertanto nelle prove d’esame domande che sistematicamente toccavano gli insiemi e questo sia nei problemi che nei quesiti.

Ecco alcuni esempi proposti negli indirizzi sperimentali e talora anche in quello di ordinamento (detti, proprio perché comuni, anchor item):

• Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo. (3/2007)
• Nel piano riferito a coordinate cartesiane (x, y) si dica qual è l’insieme dei punti per i quali risulta: y² – x³ > 0. (5/2008)
• Sono dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive? (anchor item, 2/2009)
• In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l’insieme N dei numeri naturali ( “i numeri tutti”). Dice Salviati: «….se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?». Come si può rispondere all’interrogativo posto e con quali argomentazioni? (5/2011)
• L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta. (4/2012)
• Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. (9/2013)
• Le lettere N, Z, Q, R denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo ℵ₀ (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi Z, Q e R hanno anch’essi cardinalità ℵ₀? Si motivi la risposta. 9/2014

Altri quesiti proposti toccavano gli insiemi dal punto di vista del calcolo delle probabilità o combinatorio, come i seguenti:

• Siano dati nello spazio n punti P₁, P₂, P₃, …. P_n . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? (anchor item, 5/2012)
• Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio, i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione? (anchor item, 6/2013) (sul quesito si veda il commento di Guido Trombetti)

Le annuali indagini Matmedia sulla prova scritta li includevano tutti tra i meno affrontati.

Dal 2016 ad oggi le tracce delle prove scritte sembrano comunque, anche per la inspiegata riduzione del numero dei quesiti da 10 a 8, aver limitato molto l’attenzione agli insiemi. Il simbolo di appartenenza è però utilizzato.