Ricordi d’insegnamento: gruppi e strutture

Considerazioni didattiche sull’introduzione del concetto di gruppo. Gerarchia delle strutture, proprietà delle operazioni e elementi speciali. Ricordi d’insegnamento.

Operazioni e insiemi sono il pane quotidiano del fare matematica. In particolare nei primi anni della secondaria di secondo grado è d’obbligo parlare e fare esempi, in modo più o meno formalizzato, di insiemi e operazioni binarie fra i  loro elementi. È comune dunque trovarsi di fronte a un insieme S con un’operazione * che vi è ovunque definita, tale cioè che presi comunque a e b in S, a*b sia ancora un elemento di S. Avere a che fare cioè con un oggetto nuovo, la coppia (S, *) che è una struttura semplice detta gruppoide.

Questo nuovo oggetto si presta didatticamente a una serie di riflessioni interessanti e formative. In particolare, induce a riflettere sulle strutture algebriche e sulla loro organizzazione gerarchica, sulle proprietà delle operazioni che le caratterizzano e sugli elementi speciali che vi interagiscono. Quindi sul concetto di struttura, in generale e come ambiente operativo: una sorta di comunità, invariante per cardinalità, i cui individui o elementi interagiscono e si autoreplicano per composizioni successive.

Un buon punto di partenza per tali riflessioni è la questione della binarietà dell’operazione *.

Dati a, b e c, qual è il risultato di a*b*c? In presenza di più elementi bisogna procedere componendoli sempre a due a due. Non si può fare diversamente! La posizione delle parentesi, nelle due scritture seguenti, indica il prima e il dopo dell’esecuzione delle due composizioni:

(a*b)*c        a * (b*c)

Può capitare che il risultato sia lo stesso per ogni scelta di a, b e c? Certamente, il risultato è lo stesso se l’operazione gode della proprietà associativa, ovvero se, qualsiasi siano a, b e c:

(a*b)*c = a*(b*c)

Se ciò accade, la struttura diventa qualche altra cosa. Il gruppoide si specializza in un semigruppo:

Gruppoide ⊕ Associatività = Semigruppo

L’esistenza in S di un elemento neutro u,  cioè tale che a*u = u*a=a per tutti gli a di S, particolarizza ulteriormente la struttura, la rende un monoide.

Semigruppo ⊕ Elemento Neutro = Monoide

L’elemento neutro u, detto in modo altrettanto significativo elemento unità o identità, è speciale:  composto con un altro elemento del monoide non lo altera, non ne cambia l’identità. La sua esistenza però porta all’individuazione di altri elementi speciali, simmetrizzabili, che hanno un inverso a^-1, tale cioè a*a^-1 = a^-1*a=u. Se ciò si verifica per tutti gli a allora la struttura che si ottiene è molto più particolare: è un gruppo

Monoide ⊕ Inversi = Gruppo

In ognuna delle strutture descritte, l’operazione * può ovviamente risultare commutativa. Se ciò accade si parlerà di gruppoide, semigruppo, monoide, gruppo, commutativo. In altre parole la proprietà commutativa non specializza la struttura, ma le conferisce un attributo di qualità.

La struttura di gruppo è un ambiente operativo privilegiato; consente molte più cose: il tornare indietro, l’operare bidirezionalmente, nei due versi, quindi la risoluzione di equazioni. Per certi versi è il prototipo della reversibilità che caratterizza l’ambiente matematico diversamente dal flusso unidirezionale dei processi che avvengono in natura. Reversibilità e invarianza sono per docenti e studenti guide fondamentali nel fare matematica.

La letteratura sulla questione è molto ampia e molti riferimenti si trovano anche su Matmedia, si vedano anche i recenti contributi di Antonino Giambò e quelli alla voce gruppo.

Tra gli articoli più noti che possono giovare alla professionalità docente si citano, seppur datati, i due seguenti:

1. Hans Freudenthal, Il significato di gruppo in matematica e la sua possibile introduzione nell’insegnamento matematico. È il testo dell’intervento del noto matematico olandese al II Congresso ICMI di Exter (1972), ricco di esempi e di considerazioni sulle esperienze didattiche realizzate a partire dalle scuole primarie e di raccomandazioni come la seguente: «Se ai bambini si insegnano i gruppi, essi hanno diritto di imparare una vera teoria dei gruppi, e non una versione “infantile”». L’articolo è tradotto in italiano ed è presente nel quaderno n.10 dell’UMI, La didattica della matematica oggi. Problemi, ricerche orientamenti, a cura di Candido Sitia, Pitagora 1979.
2. W. W. Sawyer, La teoria dei gruppi e la scuola. Si tratta del paragrafo conclusivo del volume Preludio alla matematica, Mondadori 1962. Per quanto possa apparire ancor più datato, è tuttora un testo molto valido e, viste le difficoltà di reperimento del volume, è qui riprodotto per consentirne la lettura. [VEDI]

Jean Piaget (1896-1980)

Si aggiunge, anche per una sorta di autocompiacimento:

• Emilio Ambrisi, Piaget e la didattica della matematica, Pedagogia e Vita,1981. L’articolo può essere di una qualche utilità per i suoi riferimenti a Jean Piaget, a Nicolas Bourbaki e alle loro strutture madri. È stato giorni fa richiamato su facebook dalla professoressa Adriana Lanza, cosa che mi ha dato l’opportunità di rileggerlo ricavandone lo stimolo a scrivere la presente nota di “ricordi dei miei anni d’insegnamento nel decennio d’oro degli anni Settanta”. Nel  ricordo della mia esperienza d’insegnamento della gerarchia delle strutture algebriche semplici e del concetto di gruppo non posso sottacere di aver sentito parlare di gruppo per la prima volta, al primo anno di università, nel corso di Algebra e dalla viva voce del maestro, Mario Curzio, che mi pare di ricordare proprio in quell’anno accademico 1966/67 ne aveva assunto la titolarità a Napoli.