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La teoria degli insiemi torna di nuovo in scena?

 La teoria degli insiemi, allontanata per abituale e ripetuta attività sovversiva e confinata nella ristretta cerchia dei logici, ritorna con la filosofia di Badiou.

L’immagine del filosofo, la sua definizione, il suo spessore culturale non sono più quelli di una volta.

Sempre più spesso – è l’accusa – il filosofo viene confuso con un opinionista. Una volta non era così: per poter filosofare, era necessario avere il possesso approfondito di ampi campi del sapere. Tra i saperi primari del filosofo c’era la matematica, che, a parte ogni altra considerazione, oggi è un settore divenuto tecnicamente complicato, riservato a ristrette “aristocrazie”. D’altra parte, anche tra i matematici è sempre più raro trovarne qualcuno che abbia una preparazione filosofica più che superficiale. Ma qui la cosa appare meno grave e sostanzialmente da giustificare. In ogni caso la frattura tra matematica e filosofia è profonda e, per i più, irreversibile.

Alain Badiou è un’eccezione.

Tra i filosofi attuali è uno che la matematica la conosce. L’ha studiata. Ne è innamorato. Di essa pensa che «non è per nulla la scienza della differenza tra un fogliame autunnale e un cielo estivo; essa afferma solamente che, in qualunque caso, questi sono esempi di molteplicità, di forme aventi qualcosa in comune, ossia il fatto di essere, e basta».

Alain Badiou

La molteplicità dell’essere è il credo filosofico di Badiou. Una filosofia in cui la matematica è l’unica Internazionale ancora possibile e che pertanto il matematico può leggere non solo senza annoiarsi, ma con estremo interesse. Può ricavare un profitto, ad esempio, dalla proposta di Badiou di fondare la filosofia sulla matematica e, in particolare, sulla teoria degli insiemi. La ragione di questa scelta sta nel fatto che egli trova che i principii che regolano l’idea di ontologia assoluta sono gli stessi che egli  riscontra  nella teoria degli insiemi nella sistemazione di Zermelo-Fraenkel. Questi principii sono: immobilità, composizione a partire dal niente, prescrizione assiomatica, massimalità.

La teoria degli insiemi è immobile nel senso che il movimento le è estraneo.

Gli insiemi sono estensionali, perfettamente definiti dai loro elementi. Un insieme che muta di un elemento è semplicemente un altro insieme. Gli insiemi sono entità statiche, prive di dinamismo.

La teoria si fonda sul niente.

Esiste un insieme vuoto, che è unico. A partire da esso si costruisce la molteplicità dell’essere, ovvero ciò che ontologicamente è: la molteplicità. I numeri naturali si costruiscono formalmente a partire dal niente: l’insieme vuoto. Un simbolo: ø. Basta questo per costruire l’insieme che lo ha per elemento, il singleton, l’insieme {ø}. La differenza tra ø e {ø}non è solo formale: il primo è zero, il secondo è 1. Gli insiemi {ø, {ø}} e {ø, {ø}, {ø, {ø}}} hanno due e tre oggetti rispettivamente. Il processo iterativo, generativo di oggetti, non ha termine: dal niente all’infinito dei naturali. Un insieme A può anche essere infinito, ma {A} ha un solo elemento.

Prescrizione assiomatica: la teoria è integralmente intelligibile a partire dalla lista di assiomi.

L’esistenza di un insieme s’inferisce unicamente da quell’oggetto iniziale, il ø, che esiste per assioma.  Così come l’assioma che  esiste un insieme infinito. L’insieme vuoto è unico, di insiemi infiniti ce ne sono infiniti. Tra n e n+1 nell’insieme dei numeri naturali c’è il niente; nell’insieme dei razionali c’è l’infinito; nell’insieme dei reali c’è un altro infinito, ma di ordine superiore al primo.

Nella teoria degli insiemi vige il principio di massimalità,  nel senso che qualsiasi insieme la cui esistenza può essere dedotta, senza contraddizione, dagli assiomi che la prevedono, esiste di per ciò stesso. In altre parole, si può sempre aggiungere agli assiomi della teoria un ulteriore assioma che suppone l’esistenza di un certo insieme, con il vincolo di dimostrare, ove possibile, che tale aggiunta non introduce contraddizioni. Questi assiomi definiscono e affermano l’esistenza di una gerarchia d’infiniti di cardinalità crescente.

La scelta della teoria degli insiemi per questa funzione fondativa ha conseguenze immediate, indotte dai suoi teoremi. Una prima conseguenza è la molteplicità che non è riducibile ad unità.

Benedetto Spinoza, che in quanto a filosofia la pensava come Cartesio, ovvero che il testo filosofico dovesse essere una «lunga catena di ragionamenti», ne costruì uno per la sua Etica: una lunga concatenazione di proposizioni dimostrate, tra le quali (XV del libro I): «Tutto ciò che è, è in Dio, e niente può essere, né essere concepito, senza Dio».

La filosofia fondata sulla teoria degli insiemi non solo non ammette fra i suoi teoremi la proposizione di Spinoza, ma è incompatibile con essa.

Un universo U, al quale tutti gli insiemi, compreso U, siano riconducibili come elementi, non può esistere, a meno che non si voglia cadere in contraddizione e vivere di antinomie.  Vale a dire che la teoria degli insiemi fonda una filosofia che non è monoteista, in quanto esclude una metafisica dell’Uno. L’insieme di tutti gli insiemi è inammissibile, generativo di antinomie. L’essere è dunque la molteplicità.

La teoria degli insiemi ha altri teoremi che sono filosoficamente illuminanti.

Uno di questi è decisamente il teorema di Cantor sulla potenza di un insieme. Stabilisce che se A è un insieme, P(A), che è l’insieme delle parti di A, ha più elementi di A. Ora, il fatto che di un insieme qualunque vi siano più parti che elementi significa che la ricchezza, la profonda risorsa, di ciò che è collettivo (le parti) prevale su quella dei singoli individui. Il teorema di Cantor confuta, a livello astratto, il regno dell’individualismo contemporaneo.

Il matematico non può rimanere insensibile al cospetto di tali interpretazioni filosofiche così come non può non essere interessato dalla filosofia delle verità. Prima di tutto, “le verità”, non “la verità” al singolare. Al plurale come le logiche, gli infiniti, le geometrie, le teorie degli insiemi… Ecco l’immanenza della molteplicità!

Le verità sono creazioni singolari con valore universale, classificate da  Badiou in quattro forme o generi:

  • verità cognitive, quelle delle scienze e delle teorie scientifiche;
  • verità sensibili, proprie delle opere d’arte;
  • verità collettive, come le politiche dell’emancipazione;
  • verità esistenziali, ovvero le verità degli amori.

«In breve: le teorie scientifiche sono verità concernenti l’essere medesimo (la matematica), o le leggi “naturali” dei mondi, di cui si può avere una conoscenza sperimentale (fisica e biologica). Le verità politiche riguardano la costruzione delle società, le leggi della vita collettiva e della sua riorganizzazione; tutto questo, nel quadro di principii universali come la libertà e, soprattutto oggigiorno, l’uguaglianza. Le verità artistiche si riferiscono alla consistenza formale di opere finite, che sublimano ogni cosa passibile di percezione: musica per l’udito, pittura e scultura per la vista, poesia per la parola … Infine, le verità d’amore si basano sulla forza dialettica originata dal fatto di sperimentare il mondo non partendo dall’Uno, dalla singolarità individuale, bensì a partire dal Due, dunque da un’accettazione radicale dell’altro».

Tutto questo, in un discorso di possibile esistenza di una categoria di “verità” che tutte le contempli, riporta, per Badiou, alla verità matematica come origine e fondamento di ogni pensiero.

Il lavoro di Badiou è, dunque, molto di più di un elogio delle matematiche (al plurale).

Per quel che ci interessa, da una parte ridà vita alla coppia filosofia-matematica, dall’altra rivaluta la teoria degli insiemi. Entrambe operazioni di grande portata culturale e, in particolare, pedagogiche. A renderle tali, però, non è tanto l’originalità, quanto il loro significato intrinseco. Circa l’originalità, infatti, è decisamente scontato che matematici e filosofi hanno fatto ricorso in ogni tempo, in modo più o meno cosciente,  a ragionamenti fondati sulla teoria degli insiemi. Il merito di Badiou allora è quello di averla richiamata lucidamente in gioco. Di averne operato una sorta di riscatto soprattutto sotto il profilo matematico.

Georg Cantor (1845-1918)

Essa, infatti, così come la si intende adesso, è dovuta al genio di Georg Cantor.

E, nel modo in cui è stata da lui formulata  negli anni ’70-80 del XIX secolo, si è rivelata portatrice di potenti germi eversivi che hanno spinto la matematica a riflettere su di sé e sui suoi fondamenti, precipitandola in una profonda crisi che ha avuto come effetto anche quello di aver diviso i matematici in correnti e fazioni. Da una parte chi era propenso a ritenerla un Paradiso creato per tutti i matematici, dall’altra chi voleva nient’altro che  allontanarsene. Contraddittoria al massimo: da una parte miraggio di unità delle matematiche, dall’altra profondamente divisiva e disaggregante a livello operativo.

Da Cantor agli anni ’60-70 del XX secolo, la teoria ha portato in definitiva grande scompiglio.

Nell’arco di un secolo, la sua ondata rivoluzionaria ha investito matematica, filosofia, psicologia, letteratura, pedagogia e dilagato nell’insegnamento. Ha imperversato nel mondo della didattica sollecitando a cambiare il linguaggio, i punti di partenza, l’ordine di inferenza di concetti e procedure, la successione dei capitoli canonici dell’insegnamento matematico. Il suo essere così fortemente invasiva ha suscitato una altrettanto forte reazione. Ha indotto a parlare di insiemistificazione della matematica e portato a generare nella scuola un’autentica idiosincrasia nei suoi confronti.

Nel lavoro di Badiou c’è dunque un progetto di riscatto.

La teoria degli insiemi ritorna a rivendicare il suo ruolo nella umanizzazione della matematica, le sorprendenti ricadute esistenziali che comportano i teoremi dell’infinito, i metodi diagonali di Cantor, l’ipotesi del continuo, le proposizioni indecidibili, l’assioma di scelta, l’essenzialità del concetto di insieme quoziente, la combinatoria come teoria degli insiemi finiti e l’applicazione alla probabilità, i luoghi geometrici e gli spazi n- dimensionali, le strutture madri di Bourbaki-Piaget, la generalità del concetto di funzione, gli isomorfismi, gli insiemi ricorsivi … Si riscopre onnipresente ovunque si faccia matematica, in particolare nell’insegnamento. La si avverte come germoglio della fioritura di uno dei più eccezionali miti del nostro tempo: il mito-verità di un’aspirazione occulta e contrastata dell’umanità intera a riconciliarsi con sé stessa alla luce di un concetto utopico … Il concetto di “insieme”.

La teoria degli insiemi torna dunque nuovamente in scena: viene in aiuto per ritrovare l’unità perduta delle culture e come risolutrice delle controversie sull’insegnamento della matematica non risolubili se non alla luce di una filosofia che aiuti a chiarirne la natura: che cos’è la matematica?

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