Numeri SIC con il nuovo anno

Il 2025 è anche un numero SIC, esprimibile cioè come somma di k interi consecutivi. Fare matematica in classe con i numeri: triangolari, SIC, palindromi,…

L’arrivo del nuovo anno 2025 è stato salutato con un buon numero di considerazioni e commenti, anche divertenti, legati alle sue proprietà numeriche. Alcune di queste proprietà sono state messe in luce pure da Matmedia che ne ha calcolato anche la sua unica partizione in addendi i cui inversi ripartiscono, a loro volta, l’unità. Un risultato questo di cui godono tutti i numeri più grandi di 77 e che a buon diritto figura nella lista dei risultati più belli dell’intera matematica.

Di un’altra proprietà è utile parlare anche perché può costituire l’occasione per una interessante attività di fare matematica in classe. Riguarda i numeri triangolari e i numeri SIC (Somma Interi Consecutivi).

L’ultimo anno espresso da un numero triangolare è stato il 2016 che è anche un numero SIC. Il Periodico di Matematiche, organo di stampa della Mathesis, dedicò alla questione alcuni articoli (Emilio Ambrisi, Gabriele Lucchini, Silvio Maracchia) e le copertine, prima e quarta, del fascicolo  2/2016.

Il numero 2025 non è un numero triangolare ma è un numero SIC esprimibile cioè, e in più modi, come somma di interi positivi consecutivi. L’attività didattica può iniziare proprio con la ricerca di questi interi.

Supponiamo che il primo numero della nostra sequenza sia x. Allora, i k numeri consecutivi saranno:

x,  x+1,  x+2, …, x+(k-1)

La somma di questi numeri è: S = x + (x+1) + (x+2) + … + (x+(k-1))

Possiamo riscrivere questa somma come: S = kx + [1+2+3+…+(k-1)]

La somma dei primi k-1 numeri naturali è data da: (k-1)·k/2

Quindi, l’equazione diventa: S = kx + (k-1)·k/2 ovvero : 2S = k(2x+k-1)

Affinché esista una soluzione intera, il termine 2S deve essere divisibile per k(2x+k-1). Nel nostro caso S=2025 e la ricerca porta subito a queste 4 sequenze:

1. [403, 404, 405, 406, 407]
2. [335, 336, 337, 338, 339, 340]
3. [221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229]
4. [135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145]

A questo punto può sorgere la domanda:

Gli interi positivi si possono tutti esprimere come somma di due o più interi positivi consecutivi?

No, non sempre. Non è possibile, ad esempio, per una potenza di 2: un numero che sia potenza di 2 non è SIC .
Se 2^t, t ≥1, fosse SIC allora esisterebbero m e k tali che:

2^t=m+(m+1)+(m+2)+…+(m+k) = m(k+1)+ k(k+1)/2

Ovvero moltiplicando per 2

2^t+1=2m(k+1)+ k(k+1) = (2m+k)(k+1)

L’uguaglianza dice che sia 2m+k che k+1 sono potenze di 2. Questo è però impossibile: se k è pari, k+1 è dispari e se k è dispari è 2m+k ad essere dispari.
Le 4 rappresentazioni come numero SIC trovate per 2025 sono le sole possibili? No, ne esistono altre 7. Vale infatti il seguente teorema:

Sia n un intero positivo SIC e d il più grande dei divisori dispari di n. Il numero di rappresentazioni possibili di n come SIC è uguale al numero dei divisori di d diversi da 1.

Nel caso di 2025, d=675 che ha 11 divisori diversi da 1: 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 135, 225, 675.

Un immediato interessante corollario è il seguente:

Gli interi positivi che ammettono un’unica rappresentazione come SIC sono tutti e soli i naturali della forma 2^k∙p essendo p un numero primo.

Se p è primo, p^k, k > 0, ha esattamente k rappresentazioni SIC.
Il risultato è un altro corollario del teorema enunciato sopra. Infatti, se p è primo, p^k è dispari e i suoi divisori diversi da 1 sono p, p², p³,……p^k: esattamente k.
Esempio: 3³=27 si può esprimere come SIC in tre modi diversi, 3⁴=81 in 4 modi diversi e 3⁵=243 lo è in cinque modi diversi, ecc:
3³ = 27= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 8 + 9 + 10 = 13 + 14
3⁴ = 81 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 26 + 27 + 28 = 40 + 41
3⁵ = 6 + 7 + 8 + 9 +………..+ 20 + 21 = 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 = 38 + 39 + 40 + 41 + 42 + 43 = 80 + 81 + 82 = 121 + 122
ovviamente anche un intero positivo della forma 2^t · p^k ha esattamente k rappresentazioni e, viceversa:

Se k è un intero positivo esistono infiniti numeri interi positivi esprimibili in k modi diversi come SIC.

Problema interessante: Assegnato k, qual è il più piccolo SIC esprimibile in k modi?
Esempio 3³ = 27 ha tre rappresentazioni e così ogni 2^t ·p³ (p primo), ma è 15 il più piccolo intero con tre rappresentazioni SIC: 15=1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8. Qual è il più piccolo intero esprimibile come SIC in 4 modi diversi? E in 5?

Dai SIC ai palindromi

Il numero 242 è palindromo, ma è anche SIC e, essendo uguale a 2 · 11², lo è in due modi diversi:
242 = 59 + 60 + 61 + 62 = 17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27
I quattro interi della prima rappresentazione rivelano una bella proprietà: la somma dei loro cubi è anch’essa palindroma. È, infatti: 59³ + 60³ + 61³ + 62³ =886688
È un fatto unico? No, ci sono altri esempi e, quel che è più importante, si sa come ottenerli.
L’esempio che segue è certamente sorprendente:

99 + 100 + 101 + 102 + 103 = 505
99² + 100² + 101² + 102² + 103² = 51015

E quest’altro, che con esso sembra avere un legame esoterico, non è da meno:

10099 + 10100 + 10101 + 10102 + 10103 = 50505
10099² + 10100² + 10101² + 10102² + 10103² = 510151015

In effetti che succede? Che cos’è che veramente stupisce? È che nel passaggio da:
n+ (݊n+ 1) + (݊n+ 2) + … +(n+k)   a : ݊n² + (݊n+ 1)²+ …+ (n+k)²

o ancora a:
݊n³+ (݊n+ 1)³+ … + (n+k)³ ݊(e si può proseguire con esponenti maggiori), le somme si conservano palindrome.
E tutto si può meccanizzare, trasferire ad una macchina, dipendendo da n e da k.
Con k=1 si hanno le coppie di interi consecutivi la somma dei cui cubi o quadrati è un palindromo. Ad esempio: 16 e 17. È: 16+17=33; 16³ + 17³= 9009. E per le terne: 2+3+4=9; 2³+3³+4³= 99
In rete, la richiesta di palindromics sums of cubes (of squares) of consecutive integers produce una miniera di documenti e di risultati che testimoniano l’interesse per la questione e la procedura.

«Il problema della esprimibilità di un numero positivo in somme di interi consecutivi si trova in un’opera di André Weil del 1979, ma non è detto che sia stato Weil il primo ad affrontarla. È uno di quei problemi che nasce con l’aritmetica, con il gusto dell’investigazione numerica e le proprietà, le regolarità, le stranezze e le eccentricità che rivela.»[Dalla quarta di copertina del PdM 2/2016]