Metodi di approssimazione numerica delle soluzioni di un’equazione nelle tracce della maturità degli anni passati. Un quesito del 2001.

L’esercizio che segue riguarda l’approssimazione e i metodi di approssimazione numerica. Un tema molto importante dell’istruzione matematica e, come tale, onnipresente nelle tracce delle prove scritte della maturità scientifica degli indirizzi sperimentali (quando c’erano). Un tema che negli ultimi anni non si ritrova più in nessuna forma: un’ulteriore grande perdita nella direzione dell’impoverimento progressivo della didattica della matematica.

L’esercizio si trova tra i quesiti della traccia assegnata nella sessione suppletiva del 2001.

Verificato che l’equazione \(x^3 - 2x - 5 = 0\) ammette una e una sola radice compresa tra 2 e 3, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

1. Esistenza e unicità della radice

Da \(f(x)=x^3-2x-5\) segue \(f(2)=-1<0\) e \(f(3)=16>0\). Per il teorema degli zeri esiste almeno una radice in \((2,3)\).

Poiché \(f'(x)=3x^2-2\) e, su \([2,3]\), \(f'(x)>0\), la funzione è strettamente crescente: la radice è unica e sta tra 2 e 3.

2. Metodi di approssimazione numerica

a) Metodo di Newton

Scegliamo \(x_0=2.5\). La ricorrenza è

\[
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\qquad f(x)=x^3-2x-5,\; f'(x)=3x^2-2.
\]

Prime iterazioni:

• \(x_1 \approx 2.164179\)
• \(x_2 \approx 2.097135\)
• \(x_3 \approx 2.094555\)
• \(x_4 \approx 2.09455148\)

Con tolleranza \(10^{-6}\): \(\;x \approx 2.094551\).

b) Metodo di bisezione

Dall’intervallo iniziale \([2,3]\), dopo 10 bisezioni si ottiene

\[
2.09375 \;< \;\alpha \;<\; 2.0947265625,
\]

in coerenza con Newton (convergenza più lenta ma garantita).

c) Metodo delle secanti

Con \(x_0=2\), \(x_1=3\): \(x_2\approx 2.0588\), \(x_3\approx 2.0811\), \(x_4\approx 2.0909\), … con convergenza verso la stessa radice reale.

3. Soluzione algebrica esatta: formula di Cardano

a) Forma canonica (cubica priva del termine quadratico)

\[
x^3 + px + q = 0,\qquad p=-2,\; q=-5.
\]

b) Sostituzione di Cardano

Poniamo \(x=u+v\). Allora

\[
(u+v)^3 + p(u+v) + q = 0
\;\Longrightarrow\;
u^3+v^3 + (3uv+p)(u+v) + q = 0.
\]

Imponendo \(3uv+p=0\), cioè \(uv=-\tfrac{p}{3}\), resta

\[
u^3+v^3=-q,\qquad u^3v^3 = (uv)^3=\Bigl(-\tfrac{p}{3}\Bigr)^3.
\]

Dunque \(u^3\) e \(v^3\) sono le radici della quadratica

\[
t^2 + q\,t - \Bigl(\tfrac{p}{3}\Bigr)^{\!3}=0.
\]

c) Discriminante

\[
\Delta=\Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3
=\Bigl(-\frac{5}{2}\Bigr)^2+\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)^3
=\frac{25}{4}-\frac{8}{27}
=\frac{643}{108}>0.
\]

Quindi esiste una sola radice reale.

d) Radice reale in forma chiusa

\[
u^3=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{643}{108}},\qquad
v^3=\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{643}{108}}.
\] \[
\boxed{\,x=\sqrt[3]{\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{643}{108}}}\;+\;\sqrt[3]{\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{643}{108}}}\,}
\]

Valore numerico: \(x \approx 2.0945514815\).

e) Le altre due radici

Poiché \(\Delta>0\), le altre due radici sono complesse coniugate:
\(x_{2,3}=\omega u+\omega^2 v\), con \(\omega=e^{2\pi i/3}\).

4. Confronto didattico

• I metodi numerici (Newton, bisezione, secanti) mostrano la dinamica delle approssimazioni e i criteri di arresto.
• La formula di Cardano fornisce una soluzione chiusa, ottima come riferimento teorico e per il confronto con i metodi iterativi.

Conclusione

Questo esercizio unisce in modo esemplare approssimazione numerica e soluzione algebrica. Mostra come l’istruzione matematica possa sviluppare sia competenze operative (saper calcolare approssimazioni) sia consapevolezza teorica (conoscere i metodi generali). La sua scomparsa dalle prove recenti è un segnale dell’impoverimento della didattica della matematica: meno occasioni per riflettere sul rapporto tra calcolo esatto e calcolo approssimato, tra teoria e pratica.

Oggi, nel “fare matematica” in classe, possiamo integrare i vari strumenti digitali:
software simbolici come Wolfram Alpha o Mathematica per verificare la formula chiusa,
ambienti numerici e grafici come GeoGebra o Python per simulare le iterazioni,
calcolatrici evolute o app per sperimentare con dati concreti.

Questi strumenti non sostituiscono il ragionamento matematico, non comportano di rinunciare al pensiero matematico: al contrario, significano spostare l’attenzione dal “fare i conti” al capire i metodi. Lo studente può così verificare in tempo reale che Newton converge più rapidamente della bisezione, o che la formula algebrica dà lo stesso risultato della procedura iterativa.

Infine, un altro quesito, un'altra equazione, non algebrica (suppletiva 2001 - sperimentazioni autonome):

Calcolare, con uno dei metodi numerici studiati, un valore approssimato della radice dell'equazione: x - log (2-x) = 0

L'affronteremo in un successivo intervento.