La gara Mathesis del 1973. Percentuali, quadrati perfetti e aritmetica del buon senso. L’intuizione contro l’automatismo.
Nei due precedenti interventi abbiamo visto come il testo della gara Mathesis del 16 marzo 1973 proponesse quesiti che sfidavano gli studenti a saper vedere: nello spazio, scovando triangoli nascosti in un segmento o esagoni in un cubo rotante. Di quel testo vediamo ora due problemi che sembrano toccare più da vicino il cuore della matematica quotidiana: l’aritmetica e il calcolo percentuale.
Quei due problemi, apparentemente scolastici, sono in realtà strutturati come veri e propri “rilevatori di automatismi”. Due tranelli nei quali l’istinto ingenuo o l’applicazione meccanica di regole preconfezionate portano facilmente fuori strada, mentre l’intuizione numerica illumina la via in pochi secondi.
\(\)Il terzo quesito della gara affronta un tema oggi più che mai attuale, quello dell'alfabetizzazione finanziaria, e recita:
«Il prezzo di una certa merce aumenta del \(40\%\) passando da un dato anno al secondo, e diminuisce del \(30\%\) passando dal secondo al terzo. Di quale percentuale il prezzo del terzo anno risulta variato rispetto al primo?»
Qui l'automatismo meccanico è in agguato e miete vittime persino tra i banchi degli adulti. L'istinto matematico più ingenuo e superficiale è portato a ragionare in termini additivi: se il prezzo sale del \(40\%\) e poi scende del \(30\%\), la variazione netta deve essere una somma algebrica, ovvero
\[
+40-30=+10\%.
\]
Un aumento del dieci per cento.
Ma le percentuali non si sommano. Chi possiede il "buon senso numerico" caro a de Finetti sa che le variazioni percentuali successive operano in modo moltiplicativo, poiché il secondo cambiamento si applica alla nuova base e non a quella iniziale.
Se poniamo il prezzo iniziale pari a \(100\), dopo l'aumento del \(40\%\) la merce costa \(140\). La successiva diminuzione del \(30\%\) non si calcola su \(100\), ma su \(140\). Poiché il \(30\%\) di \(140\) è \(42\), il prezzo finale sarà
\[
140-42=98.
\]
Tradotto in coefficienti moltiplicativi:
\[
1{,}40 \times 0{,}70 = 0{,}98.
\]
Il prezzo del terzo anno non è affatto aumentato del \(10\%\), ma è diminuito del \(2\%\) rispetto al primo anno. Un risultato che ribalta completamente la prima, fallace intuizione e che dimostra come un formalismo privo di controllo logico possa trasformarsi in analfabetismo funzionale.
Se il problema delle percentuali smaschera l'approccio additivo errato, il primo quesito della gara è una piccola meraviglia aritmetica: la ricerca di regolarità locali in un ambiente infinito. Il testo chiede:
«Quali sono i numeri interi il cui quadrato termina con due cifre uguali?»
Davanti a una richiesta del genere, lo studente abituato a muoversi solo se guidato da un algoritmo standard si sente smarrito: non esiste una "formula del quadrato che termina con cifre uguali" da applicare meccanicamente. L'unica strada sembrerebbe una ricerca esaustiva e infinita, calcolando quadrati su quadrati nella speranza di trovare una regola.
Un primo caso però è immediato: se il numero termina con 0, il suo quadrato terminerà con 00. Dunque appartengono certamente alla famiglia cercata tutti i multipli di \(10\):
\[
10,\ 20,\ 30,\ 40,\ \ldots
\]
Infatti
\[
(10k)^2=100k^2,
\]
e quindi il quadrato termina sempre con \(00\).
Ma esistono altre possibilità?
Le altre coppie di cifre uguali che si potrebbero immaginare in coda a un numero quadrato sono:
\[
11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99.
\]
La chiave dell’enigma risiede nel fatto che le ultime due cifre di un quadrato dipendono soltanto dalle ultime due cifre del numero di partenza. Non occorre quindi esaminare infiniti interi: basta ragionare sulle possibili coppie finali.
Cominciamo dalle coppie dispari:
\[
11,\ 33,\ 55,\ 77,\ 99.
\]
Se un numero è dispari, il suo quadrato è ancora dispari. Inoltre, osservando i quadrati delle cifre dispari
\[
1^2=01,\qquad
3^2=09,\qquad
5^2=25,\qquad
7^2=49,\qquad
9^2=81,
\]
si nota che la cifra delle decine è sempre pari. È quindi impossibile che un quadrato termini con due cifre dispari uguali.
Restano allora soltanto:
\[
22,\ 44,\ 66,\ 88.
\]
Ora, se un quadrato termina con una cifra pari, il numero di partenza deve essere pari; il quadrato è quindi divisibile per \(4\). Un numero è divisibile per \(4\) se e solo se lo sono le sue ultime due cifre.
Le coppie
\[
22,\qquad 66
\]
non sono divisibili per \(4\) e possono essere eliminate immediatamente.
Restano quindi soltanto due candidate:
\[
44,\qquad 88.
\]
A questo punto il problema si è ridotto a una scelta tra due sole possibilità. Un rapido controllo mostra che
\[
12^2=144,
\]
per cui la coppia \(44\) compare effettivamente come finale di un quadrato.
Per la coppia \(88\), invece, un controllo diretto delle possibili ultime due cifre mostra che non compare mai come finale di un quadrato.
L'unica coppia non banale costituita da due cifre uguali che possa comparire alla fine di un quadrato è dunque:
\[
44.
\]
Quali sono i numeri il cui quadrato termina con questa coppia?
A partire dalla prima soluzione
\[
12^2=144,
\]
emerge una notevole simmetria. Se il quadrato di un numero \(x\) termina con \(44\), avranno la stessa coppia finale anche i numeri
\[
50-x,\qquad 50+x,\qquad 100-x.
\]
Infatti, sviluppando ad esempio
\[
(50+x)^2=2500+100x+x^2,
\]
i primi due termini terminano con due zeri e non modificano le ultime due cifre del risultato.
Partendo da \(12\), otteniamo immediatamente:
\[
50-12=38,
\]
\[
50+12=62,
\]
\[
100-12=88.
\]
La risposta finale al quesito può essere espressa in modo semplice e simmetrico.
I numeri il cui quadrato termina con due cifre uguali sono tutti e soli quelli della forma
\[
n=10k
\qquad (k=1,2,3,\ldots),
\]
oppure
\[
n=50h\pm12
\qquad (h=0,1,2,\ldots).
\]
Nel primo caso il quadrato termina con la coppia \(00\); nel secondo termina con la coppia \(44\).
Una trattazione diversa, ampia e rigorosa, di questo quesito è dovuta a Bruno Rizzi e si trova sul N. 1 dei Quaderni del Periodico di Matematiche: Problemi e Gare Matematiche (1974). Esercizi, soluzioni e complementi ai problemi assegnati alle gare di Roma (1962 - 70 - 71 - 72 -73) e alle gare nazionali (1971 - 72)
Conclusione
Ancora una volta quel foglio firmato da Bruno de Finetti mostra il suo carattere profondamente didattico.
Nel problema delle percentuali occorre capire che la base di riferimento cambia. Nel problema dei quadrati occorre capire che un'apparente ricerca infinita può essere ricondotta a un controllo finito sulle ultime due cifre. In entrambi i casi, ciò che conta non è l'automatismo, ma il controllo del significato.
Nel prossimo e ultimo appuntamento con la gara del 1973, vedremo come questo approccio si applichi alla geometria classica della corona circolare e dei quadrilateri, dove la ricerca degli "invarianti" — ciò che resta fisso mentre tutto il resto cambia — costituisce l'ultimo grande pilastro del saper vedere matematico.
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