Una gara Mathesis del 1973, un problema di probabilità geometrica e un viaggio da Viviani a Cesàro, passando per il diagramma di de Finetti.
Il 16 marzo 1973 era un venerdì. Uno dei “Venerdì della Mathesis” voluti da Bruno de Finetti. Questa volta dedicato ad una gara matematica organizzata per gli studenti, un tema per il quale nutriva una particolare predilezione. Il testo proposto ai partecipanti era stato preparato dallo stesso de Finetti con la collaborazione di Bruno Rizzi e comprendeva sei quesiti.
Tutti e sei stracarichi di quei “germi” capaci di trasmettere pensiero matematico. Ecco, ad esempio, il sesto. Mescola probabilità, geometria e, soprattutto, ragionamento.
«Qual è la probabilità che, dividendo “a caso” un segmento, ad esempio unitario, in tre parti, con esse si possa formare un triangolo?»
Risolvere il problema significa anzitutto richiamare le disuguaglianze triangolari.
Se \(x\), \(y\) e \(z\) sono le lunghezze dei tre segmenti ottenuti dalla divisione del segmento unitario, si ha
\[
x+y+z=1.
\]
Affinché i tre segmenti possano formare un triangolo, ciascuno deve essere minore della somma degli altri due. Ad esempio,
\[
x<y+z.
\]
Poiché
\[
y+z=1-x,
\]
si ottiene
\[
x<1-x,
\]
da cui
\[
x<\frac{1}{2}.
\]
Lo stesso vale per \(y\) e per \(z\). Dunque i tre segmenti formano un triangolo se e solo se nessuno di essi supera la metà del segmento iniziale. Ponendo
\[
z=1-x-y,
\]
ogni possibile divisione del segmento è rappresentata da un punto del triangolo
\[
x\ge 0,\qquad y\ge 0,\qquad x+y\le 1.
\]
Le condizioni
\[
x<\frac{1}{2},\qquad
y<\frac{1}{2},\qquad x+y>\frac{1}{2}
\]
individuano il triangolino evidenziato nella figura.
L'area del triangolo grande vale
\[
\frac{1}{2},
\]
mentre il triangolino favorevole ha cateti lunghi \(\frac{1}{2}\) e quindi area
\[
\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18.
\]
La probabilità cercata è quindi
\[
P=
\frac{\frac18}{\frac12}
=
\frac14.
\]
Pertanto
\[
\boxed{P=\frac14}.
\]
In media, una divisione su quattro produce tre segmenti che possono essere utilizzati come lati di un triangolo.
Ad integrazione di quanto fin qui detto va osservato che questo classico problema di probabilità geometrica è noto nella letteratura matematica sotto diversi nomi, che ne testimoniano la ricchezza concettuale. Ad esempio, broken stick problem ma anche Problema di Lemoine, dal matematico francese Émile Lemoine, che ne pubblicò una trattazione analitica nel 1873 e ne ha parlato Antonino Giambò nell'articolo Probabilità di avere un triangolo. Ma è noto anche come Problema di Viviani / de Finetti perchè richiama subito quel meraviglioso invariante stabilito dal Teorema di Viviani (1659):
In un triangolo equilatero, la somma delle distanze di un qualsiasi punto interno dai tre lati è costante e pari all'altezza \(h\) del triangolo.
E perché Bruno de Finetti intuendo la potenza visiva di questa proprietà, la utilizzò in molteplici contesti probabilistici. Ancora oggi questo approccio è alla base del cosiddetto diagramma di de Finetti, impiegato in statistica descrittiva e in genetica per rappresentare graficamente le frequenze di tre variabili vincolate ad avere somma pari a \(1\), come le frequenze genotipiche di una popolazione.
Ed è difficile, a questo punto, non citare anche l'idea di Ernesto Cesàro di utilizzare il teorema di Viviani per rappresentare lo spazio di tutti i triangoli come punti interni ad un triangolo equilatero di altezza \(\pi\): stupenda intuizione! Di essa si è già parlato su queste pagine nell'articolo «Un triangolo preso ad arbitrio è piuttosto ottusangolo o acutangolo?».
Ugualmente non si può non osservare esplicitamente che il risultato ottenuto prima
\[
P=\frac{1}{4}
\]
può essere dedotto anche dal teorema di Viviani. Assumendo cioè l'altezza del triangolo pari a \(1\) (la lunghezza del segmento iniziale), ogni punto interno rappresenta univocamente i tre frammenti \(x\), \(y\) e \(z\). Le tre parti del segmento possono essere viste cioè come le distanze di un punto interno ai lati di un triangolo equilatero di altezza \(1\). La regione dei punti favorevoli risulta allora essere un triangolo equilatero centrale la cui area è esattamente un quarto di quella del triangolo iniziale.
Infine, e per completare l'informazione su quella data del 16 marzo 1973 e su quella gara matematica, nonché sullo spirito che l'animava e che merita ancora oggi di essere ricordato (perchè diverso da quello che caratterizza le attuali), pubblichiamo di seguito l'originale della lettera firmata da Bruno de Finetti di convocazione della gara. Il suo valore nella storia della didattica della matematica, è notevolissimo.
La cosa che colpisce subito è la varietà e la qualità degli argomenti proposti:
- teoria dei numeri;
- geometria euclidea (quadrilateri e parallelogrammi);
- calcolo percentuale;
- geometria della corona circolare;
- geometria dello spazio e visualizzazione;
- probabilità e geometria.
In altre parole: sei quesiti molto diversi, nessuno specialistico, tutti pensati per stimolare idee. Tali che, una volta risolti, ciò che rimane non è tanto il risultato finale quanto il percorso — o i percorsi — che conducono ad esso.
Il proposito è allora quello di tornare quanto prima sugli altri cinque quesiti di questa gara in un venerdì della Mathesis del 1973.
COMMENTS