Nel triangolo equilatero di altezza π, pensato come spazio di tutte le possibili forme di triangoli, l’area occupata dai triangoli ottusangoli è tre volte quella degli acutangoli.
Tutti dovrebbero sapere che: «In ogni triangolo equilatero la somma delle distanze di un punto interno dai lati è costante e uguale all’altezza del triangolo».
È una proprietà molto importante, nota come teorema di Viviani. A livello didattico costituisce un buon esempio di invariante da cogliere elementarmente anche perché il teorema è un caso particolare di una proposizione più generale ( teorema di Viviani generalizzato):
«Se da un punto, interno ad un poligono equilatero, si conducono segmenti fino ad intercettare i lati, uno per ciascun lato e tutti ugualmente inclinati sui rispettivi lati, la somma di tutti questi segmenti è indipendente dalla posizione di quel punto, e, per un dato poligono, essa è minima quando i segmenti sono perpendicolari ai lati»*
Le figure seguenti esprimono due diverse dimostrazioni del teorema:
Nella prima, l’area del triangolo ABC è somma dei tre triangoli di altezze u, s e t per cui u+v+t è, necessariamente, uguale all’altezza di ABC. Nella seconda, i segmenti GK, IL e CN sono uguali rispettivamente a DM, FM e ME ed hanno per somma CP.
Il teorema e la sua visualizzazione suggeriscono che se l’altezza del triangolo è uguale a π allora le distanze u, s, t si possono leggere come le misure in radianti dei tre angoli α, β e γ che, a meno di similitudini, individuano uno e un sol triangolo, in quanto α+β+γ=π.
Ad ogni punto P di ABC si può dunque far corrispondere una forma di triangolo e viceversa. Ciò consente di poter identificare lo spazio delle possibili forme di triangolo con i punti interni di un triangolo equilatero ABC.
L’idea di associare ad ogni punto interno al triangolo di altezza π la forma di un triangolo si deve a Ernesto Cesàro.
In tale spazio i punti delle altezze corrispondono ai triangoli isosceli, quelli del contorno di DEF ottenuto congiungendo i punti medi dei lati AB, BC, CA, ai triangoli rettangoli mentre al punto G corrisponde il triangolo equilatero. E ancora, ai punti interni al triangolo DEF corrispondono tutti e soli i triangoli acutangoli. Tutto ciò si può anche leggere in termini di probabilità.
Poiché l’area di DEF è ¼ dell’area di ABC, ne consegue che la probabilità di ottenere un triangolo acutangolo è ¼ e ¾ è quella per ottenere un triangolo ottusangolo. La risposta allora alla domanda: un triangolo, preso ad arbitrio, è piuttosto ottusangolo o acutangolo? È: piuttosto ottusangolo! È zero invece la probabilità che, disegnando a caso un triangolo, esso sia isoscele o anche rettangolo.
In genere, il ragionamento fatto sopra induce lo studente, che ha familiarità con il concetto classico di probabilità come rapporto tra il numero di casi favorevoli e numero dei casi possibili, a pensare in termini di numerosità e a concludere che i triangoli ottusangoli sono più degli acutangoli! Ciò ovviamente apre il campo ad un approfondimento del concetto di infinito, della cardinalità degli insiemi infiniti, della potenza del continuo e, naturalmente della probabilità e della probabilità geometrica.
Infine, è bene ricordare che Bruno de Finetti ha anch’egli utilizzato il modello del triangolo equilatero come spazio di distribuzione statistica di numerosi fenomeni, in particolare demografici. Si vedano in proposito gli esempi riportati in: Cominciare parlando di probabilità
Altri Riferimenti
- dynamicmathematicslearning.com/viviani-general.html
- demonstrations.wolfram.com/AVisualProofOfVivianisTheorem/
- www.matmedia.it/wp-content/uploads/2023/04/def2.pdf
- Si veda anche: Il Periodico di Matematica del 1889
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