Nodi e catene deduttive: come cresce una rete matematica. Un problema di geometria può contenere un intero corso.
Nello studio della matematica esistono questioni che valgono molto più della loro formulazione apparente. Sembrano semplici esercizi di geometria, ma in realtà aprono reti di connessioni che attraversano capitoli diversi della matematica elementare. È il caso della classica questione seguente: \(\)
Si circoscriva un cerchio ad un triangolo equilatero ABC e si dimostri che la somma delle distanze di un punto qualunque P, dell’arco BC, ai vertici B e C è uguale a PA.
Tradizionalmente attribuita a Frans Van Schooten, matematico olandese del Seicento, la questione è stata già affrontata in un precedente articolo, Nodi e catene deduttive per insegnare geometria, e vale ora la pena di riprenderla per il suo straordinario peso didattico.
Da essa si può arrivare al teorema di Tolomeo, al teorema di Pitagora, alle formule trigonometriche di addizione e sottrazione, ai poligoni inscritti, alla sezione aurea e tanto altro ancora.
Non come semplice successione di curiosità, ma come esempio concreto di ciò che significa comprendere davvero la matematica: vedere le relazioni e costruire catene deduttive.
La dimostrazione, adatta già al primo biennio, può essere quella illustrata nella figura a lato. Dobbiamo dimostrare che \(PB+PC=PA\). Sul prolungamento di \(BP\) stacchiamo \(P'\) in modo che \(PP'=PC\). Essendo \(B\widehat{A}C=60^\circ\), il suo angolo opposto, di vertice \(P\), è \(120^\circ\); ne consegue che il triangolo \(PP'C\) è equilatero e uguali sono dunque i triangoli \(PAC\) e \(BCP'\). Quindi \(PA=BP'\), cioè:
\[
PA = PB + PP' = PB + PC
\]
La relazione stabilita vale per ogni punto \(P\) dell’arco \(BC\); un analogo discorso vale naturalmente per gli altri due archi.
In particolare, se \(P\) coincide con il punto medio dell’arco \(BC\), allora \(PA\) coincide con il diametro. Si può allora formulare la proposizione:
La somma \(PA+PB+PC\) è massima quando \(P\) è il punto medio dell’arco \(BC\).
Segue anche che, se \(N\), \(P\), \(R\) sono i punti medi dei tre archi sottesi dai lati del triangolo, allora l’esagono \(ANBPCR\) è regolare e ha perimetro tre volte il diametro: cioè il lato dell’esagono regolare inscritto in un cerchio è uguale al raggio. Un risultato raggiungibile per molte vie, ma che qui emerge come sviluppo naturale della configurazione iniziale.
Ma la relazione
\[
PA = PB + PC
\]
non resta isolata. Appena la si rilegge in termini di quadrilateri inscritti compare immediatamente il teorema di Tolomeo.
Moltiplicando infatti entrambi i membri per la lunghezza \(s\) del lato del triangolo si ottiene:
\[
PA\cdot s = PB\cdot s + PC\cdot s
\]
ovvero:
\[
PA\cdot BC = PB\cdot AC + PC\cdot AB
\]
L’uguaglianza è precisamente il teorema di Tolomeo per un quadrilatero inscritto in un cerchio.
In termini geometrici esso afferma che il rettangolo costruito sulle diagonali di un quadrilatero inscritto è equivalente alla somma dei rettangoli costruiti sulle coppie di lati opposti.
Storicamente il teorema nacque nel contesto dello studio delle corde del cerchio e della trigonometria astronomica. Se \(\theta\) è l’angolo al centro che sottende una corda \(AB\) e \(d\) il diametro del cerchio, allora:
\[
AB = d\cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
Per questo aspetto storico si può consultare Morris Kline, nel primo volume della sua Storia del pensiero matematico.
Viceversa, noto il teorema di Tolomeo, dalla sua applicazione al quadrilatero considerato si deduce immediatamente, per semplificazione del fattore comune, la relazione iniziale:
\[
PA = PB + PC
\]
È interessante osservare come, in questo passaggio, il discorso geometrico sintetico tenda progressivamente verso procedimenti più analitici e algebrici. Una trasformazione che caratterizza molta geometria post-euclidea.
Ed è qui che la rete delle connessioni si allarga ulteriormente.
Al pari del teorema del coseno, detto anche di Carnot, il teorema di Tolomeo può essere visto come una generalizzazione del teorema di Pitagora.
Basta infatti considerare un quadrilatero inscritto che sia un rettangolo, ad esempio \(ABCD\). In tal caso le diagonali sono uguali e i lati opposti coincidono:
\[
AC = BD
\qquad
AB = CD
\qquad
BC = AD
\]
Il teorema di Tolomeo:
\[
AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD
\]
diventa immediatamente:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
ovvero il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo \(ABC\).
Dal punto di vista didattico è particolarmente interessante osservare come questi risultati possano organizzarsi in vere e proprie catene deduttive. Un esempio significativo si trova negli esercizi proposti da Emma Castelnuovo nel volume Trigonometria.
Esercizio 1
Dimostrare che le diagonali \(m\) e \(n\) di un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio soddisfano le relazioni:
\[
m^{2}= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+dc}
\]
\[
n^{2}= \frac{(ab+dc)(ac+bd)}{ad+bc}
\]
La dimostrazione consegue dall’applicazione del teorema del coseno alle coppie di triangoli opportune e dal fatto che gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sono supplementari.
Esercizio 2
A partire dalle due relazioni precedenti dimostrare il teorema di Tolomeo:
\[
mn = ac + bd
\]
Esercizio 3
Dimostrare inoltre il cosiddetto teorema di Legendre:
\[
\frac{m}{n}=\frac{ad+bc}{ab+dc}
\]
Le dimostrazioni si ottengono rapidamente: nel primo caso moltiplicando membro a membro le relazioni dell’esercizio 1, nel secondo dividendole.
Quello che Emma Castelnuovo chiama teorema di Legendre è anche noto come secondo teorema di Tolomeo, mentre le relazioni iniziali vengono talvolta attribuite al matematico indiano Mahavira e, secondo alcuni storici, erano già note a Brahmagupta.
Il punto essenziale, però, non è la molteplicità dei nomi storici, ma il fatto che da poche relazioni iniziali si generi una rete sorprendentemente ampia di risultati.
Il teorema di Tolomeo conduce infatti anche alle formule di addizione e sottrazione dei seni.
Nella figura seguente il quadrilatero inscritto ha la diagonale \(AC\) coincidente con il diametro, assunto uguale a \(1\).
Applicando Tolomeo:
\[
AC\cdot BD = BC\cdot AD + AB\cdot CD
\]
si ottiene immediatamente:
\[
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta
\]
Per la sottrazione si utilizza invece la configurazione seguente:
Da
\[
AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC
\]
segue:
\[
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\]
Persino la sezione aurea emerge naturalmente da questa rete di relazioni geometriche e algebriche, se solo si applica il teorema di Tolomeo alle diagonali e ai lati di un pentagono regolare inscritto, legando indissolubilmente la geometria sintetica al valore numerico:
\[
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
Riepilogando: si è partiti da una questione di dimostrazione e si è andati avanti con una catena di deduzioni.
Una sequenza non soggetta ad alcun obbligo di sviluppo unidirezionale e che assembla risultati appartenenti a capitoli diversi della geometria e della trigonometria: Van Schooten, Tolomeo, Pitagora, il teorema del coseno, i quadrilateri inscritti, le formule trigonometriche, la sezione aurea.
Farne un elenco è già utile didatticamente; ancora più utile è rappresentarli come punti di uno schema, come nodi di una rete nella quale ogni risultato sia raggiungibile dagli altri.
La didattica della matematica soffre spesso di una divisione artificiale in capitoli separati: geometria, trigonometria, algebra, formule. Problemi come questo mostrano invece il contrario. La matematica cresce come una rete di relazioni, di equivalenze, di trasformazioni e di rimandi reciproci.
Ed è probabilmente proprio questa percezione delle connessioni — più ancora delle singole tecniche — ciò che distingue l’apprendimento autentico della matematica dalla semplice esecuzione di esercizi. L'avevano capito i pedagogisti e matematici che avevano redatto i programmi per il PNI e poi i piani di studio Brocca sembrano però averlo dimenticato i pedagogisti e i matematici autori delle Nuove Indicazioni Nazionali per i Licei.
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