Risultato di apprendimento: “P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se P(a)=0”
Presentazione:
La finalità del lavoro è quella di organizzare un percorso didattico che possa consentire agli allievi del biennio di acquisire competenze specifiche sul legame tra la divisibilità , gli zeri e il grafico di un polinomio .
Prerequisiti:
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Conoscenza degli insiemi numerici N, Z, Q, R e delle relative operazioni.
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Il teorema fondamentale dell’aritmetica
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la divisione euclidea
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la legge di annullamento del prodotto
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Il concetto elementare di funzione
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Il piano cartesiano.
Collegamenti con alcuni dei risultati proposti nella lista:
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La fattorizzazione di un trinomio di 2° grado
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a (b + c)= a b + a c
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La gerarchia degli insiemi N,Z,Q,R
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Disegnare, nel piano cartesiano, il grafico di ax+by+c = 0
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Disegnare nel piano cartesiano il grafico di una funzione di 2° grado
Percorso didattico:
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Fase 1: Si introducono i polinomi come funzioni polinomiali in una variabile, si definisce lo zero di un polinomio e si spiega il significato della fattorizzazione di un polinomio.
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Fase 2 : Applicando la definizione di divisione euclidea alla divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado si propone la seguente uguaglianza
Si mostra come per x = a l’uguaglianza diventa P(a) = R introducendo così la regola del resto
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Fase 3 : Vengono proposte delle congetture mirate a stabilire il legame tra gli zeri di un polinomio e la sua fattorizzazione
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Fase 4 : Si dimostra che P (x) è divisibile per x-a se e solo se P (a) = 0 come conseguenza della regola del resto
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Fase 5 : Si utilizza il teorema appreso per risolvere problemi riconducibili alla risoluzione delle equazioni algebriche. Utilizzando strumenti di laboratorio per rappresentare graficamente funzioni polinomiali, l’allievo può verificare che gli zeri di un polinomio sono le ascisse delle intersezioni con l’asse x e può osservare che alcuni polinomi di secondo grado si possono scrivere come prodotto di polinomi di primo grado.
Metodologia:
Compito del docente sarà quello di coordinare il lavoro dei gruppi (A, B e C) in cui verrà suddivisa la classe; A ciascun gruppo verranno assegnati tre polinomi e ciascun gruppo dovrà svolgere per ogni polinomio un diverso lavoro secondo la seguente tabella
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Polinomio
Ricerca tra più numeri proposti quelli che annullano il polinomio
Intersezioni asse X
(con Geogebra)Ricerca della scomposizione corretta tra quelle proposte
1°
A
B
C
2°
C
A
B
3°
B
C
A
Alla fine gli alunni confrontando il risultato ottenuto per ogni polinomio dai vari gruppi, riconosceranno la relazione tra divisibilità, zeri e grafico di un polinomio
Ulteriore proposta metodologica partendo da un problema concreto:
“Hai esaurito il tuo credito telefonico e chiedi a tuo padre di effettuare una ricarica di 10 euro; sapendo che ogni sms costa 10 centesimi”
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Qual è il tuo credito residuo dopo aver inviato 4 messaggi?
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Come puoi calcolare il tuo credito residuo dopo aver inviato un certo numero di messaggi?
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Dopo quanti messaggi esaurisci il tuo credito ?
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Indicato con y il credito residuo e con x il numero dei messaggi inviati, rappresenta la funzione che descrive il credito residuo e verifica graficamente la soluzione ottenuta al punto 3
Parole chiave:
Polinomio, divisibilità, zeri di un polinomio, Ruffini, regola del resto, resto
A cura di:
- Pasqualina Ventrone (pasqualinaventrone@tin.it)
- Silvia Ruggeri (silviapatrizia.ruggeri@istruzione.it)
- Rossella Pasquali (rosella.pasquali@alice.it)
- Roberto Franzina (roberto.franzina@gmail.com)
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