Dai programmi del 1967, analitici e sequenziali, alle moderne Indicazioni nazionali. Il punto di vista di allora e, in particolare, di Bruno de Finetti: come, quando e perché insegnare i numeri reali.
Nel corso di quest’anno abbiamo ricordato più volte Bruno de Finetti. Lo abbiamo fatto parlando delle gare matematiche e dell’ottima annata della matematica che fu il 1906: un’espressione usata spesso in agricoltura, ma che appartiene anche al linguaggio quotidiano della scuola, quando i docenti commentano le classi che, di anno in anno, vengono loro affidate: «Questa sì che è un’ottima annata».
Nel 1906 venne al mondo un buon numero di matematici e di matematiche, alcuni tra i più grandi del Novecento: Gödel, Weil, Dieudonné e, appunto, Bruno de Finetti.
Torniamo ora a parlare di lui per tutto ciò che ha rappresentato per l’insegnamento della matematica nella seconda metà del Novecento, per la sua autorevolezza di scienziato e di intellettuale e anche per le sue non comuni doti di scrittore. Doti talmente apprezzate che, nei momenti cruciali del dibattito culturale e didattico, era spesso l’intera comunità matematica ad affidarsi alla sua penna.
Accadde negli anni della cosiddetta «battaglia della trinomite», nelle discussioni sull’insiemistificazione della matematica, sull’istituzione della cattedra di Matematica e osservazioni scientifiche e sulle altre grandi questioni di un periodo nel quale era particolarmente forte la spinta al rinnovamento dei programmi scolastici.
Emblematico fu il caso dei Programmi di Frascati del 1967. Un ampio gruppo di matematici si riunì presso il CEDE — il Centro europeo dell’educazione, che aveva sede nella villa Falconieri di Frascati e dal quale sarebbe successivamente nato l’INVALSI — per discutere una proposta di nuovi programmi per i licei italiani. Quel testo, tuttavia, portava in larga misura proprio l’impronta culturale di de Finetti, e fu lui a incaricarsi di farlo conoscere e di promuoverne la discussione.
Ne illustrò lo spirito in una serie di articoli pubblicati sul Periodico di Matematiche: pagine che ancora oggi vale la pena rileggere, non soltanto come documenti storici, ma come riflessioni vive sul significato dell’insegnare matematica.
Rileggerle può essere particolarmente utile proprio oggi, mentre, dopo la pubblicazione della bozza sottoposta alla consultazione, si attende la versione definitiva e ufficiale delle nuove Indicazioni nazionali per i Licei. Quelle pagine permettono anche di comprendere lo spirito collegiale con il quale allora si affrontavano le questioni dell’insegnamento.
In effetti era il clima generale, politico e sociale, ad essere molto diverso. E ciò che colpisce maggiormente è il metodo con cui si svolgeva la discussione: non si trattava di enunciare formule a effetto né di affidare a espressioni approssimative il compito di indicare una direzione culturale. Si entrava nel merito dei concetti, si motivavano le scelte e se ne valutavano attentamente le conseguenze sulla formazione degli studenti.
Non si tratta di indulgere alla nostalgia né di immaginare un passato nel quale ogni scelta fosse necessariamente migliore. Il confronto riguarda piuttosto la serietà, la competenza e lo spirito di servizio con cui le questioni venivano affrontate e discusse. Proprio per questo una simile rilettura non può non suscitare qualche amarezza, soprattutto quando nel dibattito contemporaneo compaiono formulazioni sconcertanti come quelle sull’aspetto «ricorsivo» del numero naturale, accanto a quello cardinale e ordinale, o sulla «validità» delle proposizioni matematiche. Espressioni cioè che non costituiscono semplici incidenti lessicali, ma sembrano rivelare una più generale superficialità nel modo di affrontare questioni matematiche e didattiche delicate.
È anche alla luce di questo confronto che proponiamo il brano seguente, tratto dal fascicolo n. 2 del 1967 del Periodico di Matematiche. Esso riflette le scelte del comitato riunito a Frascati, ma dà conto anche delle ragioni delle diverse posizioni emerse sull’insegnamento dei numeri reali e del modo in cui si cercò di conciliarle.
È una documentazione che può essere utile a chi è già docente e a chi si sta formando per diventarlo, ma anche ai tanti esperti che, troppo impegnati a spiegare agli altri come si insegna, hanno poco tempo per andare a cercare le cose che meriterebbero di essere studiate. Matmedia ha pensato anche a loro. Ecco il testo.
Io ero tra coloro che «avrebbero voluto inserire i numeri reali già nel programma del I anno», e non solo (come è detto nella relazione) «per poterne subito disporre nello svolgimento della geometria» (che pure è motivo importante), ma anche per motivi più fondamentali. Dei quali mi sembra tuttavia si possa tener conto anche senza contravvenire alla decisione di rinviare «la trattazione dei numeri reali all’inizio del II anno», seguendo il concetto che ora indico […].
Ciò che mi ripugna, e che ritengo non possa non creare confusione ai giovani, è l’idea artificiosa di presentare i numeri razionali come una specie privilegiata di oggetti concepibili come tali prima e indipendentemente dalla considerazione della totalità (naturale o intuitiva) dei numeri reali di cui fanno parte. Tale modo di procedere costituisce un’inversione nello sviluppo logico dei concetti, nonostante l’apparente gradualità del passaggio a successive estensioni, come lo sarebbe quello che analogamente volesse definire dapprima i numeri primi e poi la totalità degli interi.
L’effetto psicologico è un salto indietro di 25 secoli provocato inoculando i germi di quello sgomento di fronte ai numeri irrazionali (quanto infelice anche il nome!) che era spiegabile al tempo dei pitagorici; una scarsa familiarità coll’idea del numero reale era forse spiegabile prima che (ed è appena poco più di un secolo) si generalizzasse l’uso della scrittura coi decimali. Ora che ogni bambino sa che un numero è razionale o irrazionale a seconda che la successione delle sue cifre decimali è o non è definitivamente periodica (e può costruirsi in base a ciò quanti esempi vuole di irrazionali, e ha sentito dire che sono irrazionali le radici di interi non intere, e π, ecc.), come può sopportare e spiegarsi delle perplessità per lui superate?
Volendo trovare una spiegazione valida, potrei dire soltanto che i procedimenti «rigorosi» servono a ricondurre la questione della non-contraddittorietà degli assiomi dei numeri reali (e quindi delle regole usuali con cui eseguiamo i calcoli) alla questione analoga per gli interi (ma… dubbi finitistico-intuizionistici sussistono anche in quel campo; e allora il gioco vale davvero la candela?). Comunque l’argomento è senz’altro adatto tutt’al più per un «ripensamento critico», e su ciò fortunatamente ci fu pieno accordo.
E allora, quale potrebb’essere il suggerimento per conciliare le vedute suesposte con le prescrizioni del programma? Mi sembra si potrebbe benissimo limitarsi, nel I anno, a riesaminare operazioni su numeri interi e razionali considerandoli come i sottoinsiemi del campo reale, già intuitivamente noto, ma del quale appena l’anno dopo si farà una trattazione che include altri aspetti. Partendo dalla forma più pratica di rappresentazione dei numeri reali — quella di allineamenti decimali (rispondente a familiari procedimenti di misura) — riesce facile dimostrare che per essi (o per i razionali, loro sottoinsieme, ecc.) valgono le proprietà che in impostazioni diverse fungerebbero da assiomi (e, volendo, si può dimostrare o almeno dire che esse bastano a caratterizzare tali campi, «sostanzialmente», ossia a meno di isomorfismi).
Parallelamente, e con identità di metodo e linguaggio se non addirittura congiuntamente, andrebbero svolte le stesse considerazioni nella versione «geometrica» (retta, punti di ascissa razionale, ecc.). Anche nella versione geometrica le questioni sulla «continuità» andrebbero soltanto menzionate nel I anno rinviandole al II; la costruzione di una scala di ascisse sulla retta (pensandola in un piano) si può però ottenere automaticamente (avendo introdotto il parallelismo).
Benché, da un punto di vista astrattamente formalistico, una nozione matematica si possa (o debba) considerare pienamente acquisita conoscendone le proprietà deducibili dalla definizione o dagli assiomi, ritengo non meno essenziale (e dal punto di vista psicologico culturale e pratico ancor più), agli effetti di una vera conoscenza e comprensione, il saper associare alla nozione formale una visione quanto più ampia possibile delle sue interpretazioni e applicazioni (e del perché della sua applicabilità) nei più disparati campi della scienza, della tecnica, della vita quotidiana.
Perciò, riferendoci al nostro attuale caso dei numeri reali, va sottolineato che essi altro non sono (nella più parte delle applicazioni) che i «rapporti di grandezze omogenee» secondo Eudosso (e secondo l’esposizione di Euclide), anche se la mancanza di un sistema di scrittura adeguato (come quello della numerazione araba completato con le cifre decimali illimitate) ha impedito allora di trattarli naturalmente come numeri. Perciò i numeri reali, usati come moltiplicatori per le grandezze, permettono di esprimere una grandezza qualunque riferendola a una unità di misura (metro, chilogrammo, secondo, watt, km/ora, lire/kg, kg/m³, ecc.). Appena possibile (III anno) giova notare come, introdotti i vettori, i numeri reali acquisiscono anche la funzione di moltiplicatori per i vettori (come per ogni ente appartenente a un sistema lineare).Bruno de Finetti — I Programmi, in Periodico di Matematiche 2/1967
Dieci osservazioni per rileggere oggi il testo di de Finetti
Le pagine di de Finetti offrono una molteplicità di stimoli e invitano a riflettere sull’ordine secondo il quale si costruisce il sapere matematico, sul rapporto tra intuizione e rigore, sul valore delle rappresentazioni e, in definitiva, su ciò che significa comprendere davvero un concetto. Da qui nascono le dieci osservazioni che seguono.
1. I numeri reali insegnati «a rate»
L’espressione con la quale si apre il brano contiene già un giudizio: il programma prevede l’introduzione dei numeri reali «a rate». Nel primo anno si studiano soltanto i razionali; nel secondo compare finalmente l’intero campo reale. Una scansione apparentemente graduale, dunque, ma che per de Finetti nasconde un problema.
La gradualità di un programma non coincide necessariamente con la gradualità della comprensione. Suddividere un concetto in parti e distribuirne lo studio in anni successivi può risultare ordinato dal punto di vista della programmazione scolastica, ma non per questo rispetta il modo in cui quel concetto si forma nella mente degli studenti.
2. I razionali dentro il campo reale
De Finetti propone di riesaminare le operazioni sui numeri interi e razionali considerandoli come sottoinsiemi di un campo reale «già intuitivamente noto». È questo uno dei passaggi più originali del testo.
Lo studente, infatti, incontra molto presto misure, lunghezze, prezzi, rapporti e scritture decimali. Possiede quindi una qualche intuizione dei numeri reali prima ancora di riceverne una definizione o una sistemazione teorica. L’insegnamento non dovrebbe ignorare questa familiarità, presentando i razionali come oggetti autonomi e i reali come una successiva e problematica estensione.
Non sempre ciò che viene formalizzato dopo è anche ciò che viene conosciuto dopo.
3. Prima i numeri primi e poi gli interi?
Per mostrare l’artificiosità del procedimento, de Finetti propone un paragone particolarmente efficace. Presentare i razionali indipendentemente dalla totalità dei reali sarebbe come voler definire prima i numeri primi e soltanto dopo la totalità degli interi.
I numeri primi acquistano significato come particolare classe di numeri interi. Analogamente, i razionali possono essere compresi come una particolare classe di numeri reali: quelli la cui rappresentazione decimale è finita o definitivamente periodica.
Il paragone capovolge la prospettiva consueta. Quella che nei programmi appare come una successione naturale di ampliamenti può costituire, sul piano della comprensione, un’inversione dell’ordine dei concetti.
4. Lo sgomento davanti agli «irrazionali»
Secondo de Finetti, la presentazione separata dei razionali rischia persino di ricreare negli studenti quello sgomento davanti alle grandezze incommensurabili che poteva essere comprensibile al tempo dei pitagorici, ma che non dovrebbe più esserlo per chi ha familiarità con la scrittura decimale.
Non è secondaria la sua osservazione sul termine irrazionali, definito «quanto infelice». Nel linguaggio comune, infatti, irrazionale significa contrario alla ragione; in matematica indica semplicemente un numero che non può essere espresso come rapporto tra due interi. La parola può così insinuare l’idea di numeri anomali, oscuri o meno legittimi degli altri.
Anche il linguaggio contribuisce alla formazione dei concetti e può generare difficoltà prima ancora che cominci la spiegazione matematica.
5. Il rigore come «ripensamento critico»
De Finetti non respinge il rigore né considera irrilevanti i problemi di fondazione. Si domanda, piuttosto, quando e per chi debbano essere affrontati.
Le costruzioni rigorose dei numeri reali e le questioni relative alla non contraddittorietà degli assiomi non costituiscono necessariamente il migliore accesso iniziale al concetto. Sono più adatte, scrive, a un successivo «ripensamento critico».
Si delinea così una precisa scelta didattica: prima costruire significati, familiarità e capacità d’uso; poi ritornare sui concetti per esaminarne criticamente definizioni, proprietà e fondamenti. Il rigore non è eliminato, ma collocato nel momento in cui può essere compreso nella sua funzione e non soltanto subìto come apparato formale.
6. Numeri e punti della retta
La medesima impostazione dovrebbe essere seguita, parallelamente e possibilmente congiuntamente, nella versione aritmetica e in quella geometrica. Da una parte vi sono gli allineamenti decimali; dall’altra la retta, i suoi punti e le loro ascisse.
Il numero reale non viene così ridotto né a una successione di cifre né a un punto della retta. La comprensione nasce dalla possibilità di passare da una rappresentazione all’altra, riconoscendo uno stesso concetto in forme differenti.
Questa indicazione conserva una notevole attualità. Molte difficoltà degli studenti non dipendono dalla mancata conoscenza di una definizione, ma dall’incapacità di collegare registri diversi: numerico, geometrico, simbolico e grafico.
7. Conoscere non significa soltanto dedurre
Il passaggio culturalmente più impegnativo è forse quello nel quale de Finetti distingue la conoscenza formale dalla «vera conoscenza e comprensione».
Da un punto di vista strettamente formalistico, una nozione potrebbe dirsi acquisita quando se ne conoscono la definizione e le proprietà deducibili dagli assiomi. Per de Finetti, però, questo non basta. Comprendere significa saper associare alla nozione formale una visione quanto più ampia possibile delle sue interpretazioni, delle sue applicazioni e delle ragioni stesse della sua applicabilità.
Una nozione matematica non è pienamente conosciuta se rimane isolata dal mondo dei fenomeni, delle tecniche e delle esperienze che permette di organizzare e interpretare.
8. Eudosso e i rapporti tra grandezze
Il riferimento a Eudosso ed Euclide inserisce la riflessione didattica in una prospettiva storica molto ampia. Nella maggior parte delle applicazioni, osserva de Finetti, i numeri reali esprimono i «rapporti di grandezze omogenee».
La matematica greca disponeva dunque, attraverso la teoria delle proporzioni, di una struttura concettuale capace di trattare anche grandezze incommensurabili, sebbene non identificasse quei rapporti con numeri nel senso moderno. La mancanza di un sistema di scrittura adeguato impediva inoltre di operarvi con la naturalezza con cui oggi trattiamo i numeri reali.
La numerazione araba, completata dalla scrittura decimale illimitata, non ha fornito soltanto un modo più comodo di annotare concetti già disponibili: ha reso possibile un diverso modo di pensarli e di operarvi.
La notazione matematica non si limita a registrare il pensiero. In molti casi contribuisce a formarlo.
9. Dalle grandezze ai vettori
La conclusione del brano disegna un percorso concettuale di grande coerenza. I numeri reali permettono innanzitutto di esprimere una grandezza rispetto a un’unità di misura: metri, chilogrammi, secondi, watt e così via. Successivamente, con l’introduzione dei vettori, assumono la funzione di moltiplicatori, cioè di scalari.
Si stabilisce così una continuità tra esperienza della misura, aritmetica, geometria, fisica e algebra lineare. I numeri reali non costituiscono un capitolo chiuso del programma, ma una struttura destinata a operare in campi diversi e a sostenere apprendimenti successivi.
Anche questa è una lezione sulla costruzione dei programmi: un concetto non dovrebbe essere valutato soltanto per ciò che rappresenta nel momento in cui viene introdotto, ma anche per le relazioni che rende possibili.
10. La rappresentazione decimale non risolve tutto
La proposta di partire dagli allineamenti decimali è didatticamente naturale, ma richiede qualche cautela. La scrittura decimale non elimina tutte le difficoltà teoriche: basta pensare all’uguaglianza
0,999…. =1
e, più in generale, alla necessità di precisare il significato di una successione infinita di cifre e delle operazioni eseguite su di essa.
De Finetti, tuttavia, non sembra proporre la rappresentazione decimale come fondazione definitiva dei numeri reali. La utilizza come accesso intuitivo e operativo a un campo già presente nell’esperienza degli studenti. La sistemazione teorica potrà venire dopo, proprio nella forma di quel «ripensamento critico» al quale il testo fa riferimento.
Questa cautela non indebolisce la proposta, ma consente di coglierne meglio il significato. De Finetti non suggerisce di rinunciare alla costruzione rigorosa dei numeri reali: invita a non confondere tale costruzione con il loro primo apprendimento.
Il messaggio di fondo di queste pagine potrebbe allora essere condensato in una considerazione: non bisogna confondere l’ordine logico di una costruzione matematica con l’ordine psicologico e didattico della sua comprensione. A quasi sessant’anni di distanza, è difficile considerarla una questione superata.
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