Il grande teorema: la soluzione della cubica

Tra i grandi teoremi della matematica: la soluzione della cubica. Il Cinquecento italiano e l’Ars magna di Gerolamo Cardano.

È il 1494. Sono passati solo due anni dalla scoperta dell’America. Ed è l’inizio di una storia di altre grandi scoperte. Più propriamente, l’inizio è costituito dalla Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita che Luca Pacioli pubblica appunto nel 1494. È l’enciclopedia della matematica pura ed applicata che allora si insegnava in Italia; l’opera che «non solo era quella che i bisogni culturali del tempo richiedevano; ma anche quella che a tali bisogni seppe soddisfare»[1].

La Summa non è la scoperta di un nuovo mondo come lo era stata l’impresa di Cristoforo Colombo ma per la matematica è la condizione per abbattere altre colonne d’Ercole. È, infatti, una descrizione così completa dello stato dell’arte matematica, anche rispetto alla risoluzione delle equazioni algebriche, da costituire un chiaro e forte invito ad andare oltre. Plus ultra! Per i matematici dell’epoca, una sfida ad abbattere le oramai più che antiche frontiere e arrivare a trovare formule risolutive per le equazioni cubiche e biquadratiche. Ed è questo che avvenne dopo Pacioli e che caratterizzerà il Cinquecento come il secolo della scoperta di un nuovo mondo matematico, quello dell’Algebra e dei numeri complessi.

A parte le premesse, gli antecedenti e i contesti, il personaggio che s’impone subito come il più rilevante di questa storia di scoperte matematiche, che è anche tra le più ricche di valori e debolezze umane, è il bolognese Scipione Dal Ferro. È sua la scoperta della formula risolutiva dell’equazione di terzo grado, seppure non nella forma generale ax³+bx²+cx+d = 0 ma in una delle forme ridotte, quella mancante del termine di secondo grado.

Scipione Dal Ferro risolse l’equazione x³+ax = b ma tenne per sé la scoperta secondo l’abitudine dell’epoca il che ha avuto come conseguenza che non si è mai saputo con precisione né quando né come egli ottenne il suo meraviglioso risultato. In merito al “quando”, anche se la maggior parte degli storici indica il 1515, quel che è certo è che lo rivelò in punto di morte (avvenuta ai primi di novembre del 1526) al suo allievo Antonio Maria Fior che pensò bene di utilizzarla per disfide matematiche con Niccolò Tartaglia, il matematico bresciano che gli era nettamente superiore e che poi ritrovò la formula per suo conto nel 1535.

Come arrivò alla scoperta della formula?

Un modo che sembra nella sostanza ripercorrere i suoi passi (si dirà in seguito della critica di Mark Kac), è di cominciare col porre la cercata soluzione x dell’equazione uguale a u + v di modo che:

(u + v)³ + a (u + v) = b

Ovvero

u³ + v³+ (3uv + a) (u + v) = b

Da questa ponendo uv = – a/3 abbiamo: u³ + v³ = b.

Adesso la soluzione è vicina: u³ e v³ (ne conosciamo somma e prodotto) sono soluzioni dell’equazione di secondo grado:

Un altro modo di procedere, sostanzialmente lo stesso, consiste, utilizzando le stesse lettere, nel tener conto della identità:

(u + v)³– 3uv(u + v) = u³ + v³

Sicchè se prendiamo 3uv=-a  e u³ – v³=b, allora sarà x=u + v  il che ci riporta a quanto già operato per il calcolo di u e v.

Quella sopra riportata è comunque la formula che Scipione Dal Ferro scoprì e che tenne segreta per sé, per suo strumento professionale.

Il primo a pubblicarla fu Gerolamo Cardano ed è questo il motivo per cui essa è generalmente nota come formula di Cardano[2]. La pubblicò nel 1545 nella Ars Magna sive de regulis algebraicis, l’opera che è il suo capolavoro matematico e dove, ovviamente, la «grande arte» è l’algebra.

Alla pubblicazione della formula, Cardano fece precedere una nota che è prova della sua onestà intellettuale. Riconobbe a ciascuno i meriti avuti nella scoperta:

«Scipione Dal Ferro di Bologna quasi trent’anni[3] fa scoprì questa regola e la affidò a Antonio Maria Fior di Venezia, la cui contesa con Niccolò Tartaglia di Brescia diede occasione a quest’ultimo di scoprirla a sua volta. Egli me la rivelò, in risposta alle mie suppliche, tenendo però per sé la dimostrazione. Con l’aiuto di questa rivelazione, io ho trovato la sua dimostrazione in [varie] forme. Ciò è stato molto difficile».

Nei capitoli centrali dell’Ars magna Gerolamo Cardano risolve l’equazione cubica nelle varie forme ridotte ma anche nel caso generale. Ecco il grande teorema, uno dei dodici grandi teoremi che William Dunham ha selezionato come i capolavori  del genio matematico e segnato come tappe del suo viaggio di ricostruzione storica attrverso i geni che hanno fatto la matematica. E che Howard Eves inserisce tra i grandi momenti storici definendola “an extraordinary and bizarre story”.

Gerolamo Cardano trovò dunque la dimostrazione di questo grande teorema.

Confessa però che «ciò è stato molto difficile» e bisogna certamente credergli anche se oggi riusciamo a spiegarla con tanta semplicità e immediatezza. In effetti quello che illumina Cardano portandolo sulla strada giusta è l’operare per analogia con quanto avviene con l’equazione completa di secondo grado ax²+bx+c=0. Per questa, la sostituzione x = y – b/2a fa scomparire il termine di primo grado. Cardano opera la sostituzione x= y – b/3a nella cubica completa e trova che la nuova cubica manca del termine di secondo grado. Essa si riduce al caso già risolto x³+ax = b.

Il grande teorema è provato e il cenno dato alla sua dimostrazione potrebbe ben comportare la parola fine da apporre a questa breve narrazione se non fosse che Cardano all’Ars Magna dà una conclusione che non può sottacersi. L’ultimo capitolo è infatti dedicato alla risoluzione delle equazioni di quarto grado. La nuova scoperta non è sua ed egli così la introduce:

«C’è un’altra regola, più nobile della precedente. Essa è opera di Ludovico Ferrari, che su mia richiesta me la rivelò. Con essa otteniamo tutte le soluzioni delle equazioni con la quarta potenza.»

Scrive Carl Boyer nella sua Storia della Matematica (1945): «La soluzione delle equazioni di terzo grado e quarto grado era forse il maggior contributo dato all’algebra dal tempo in cui, quasi quattromila anni prima, i babilonesi avevano insegnato a “completare il quadrato” per risolvere le equazioni di secondo grado. Nessun’altra scoperta stimolò così tanto lo sviluppo dell’algebra quanto quella rivelata nell’Ars magna.»

Gerolamo Cardano pare che ne fosse convinto e la frase che pose a chiusura dell’Ars magna è a dir poco commovente: «Composto in cinque anni, può darsi che duri per molte migliaia». L’Ars magna aveva raggiunto in effetti le nuove colonne d’Ercole, simbolo del nec plus ultra: l’impossibilità di risolvere equazioni algebriche di grado maggiore di 4 per radicali. Nessuno poteva andare oltre!

Su quanto sopra raccontato ed in particolare su quella posizione di partenza x = u + v c’è una testimonianza molto interessante dal punto di vista didattico.

È di Mark Kac, uno dei più autorevoli matematici del Novecento noto anche per la sua autobiografia Gli enigmi del caso – Vicissitudini di un matematico. Egli ricorda di essere stato catturato dal problema della soluzione delle equazioni algebriche di terzo grado, argomento che a scuola non si trattava perché i programmi si limitavano alle equazioni quadratiche. Kac racconta di aver deciso di affrontarlo da sè: «presi un libro […] L’inizio della spiegazione suonava più o meno così: “poni x=u+v”. Sapevo già che la soluzione era la somma di due radici cubiche, e dunque quella scelta x=u+v costituiva una sleale anticipazione della risposta: non potevo certo ritenermi soddisfatto. Mi ero imbattuto in uno dei nodi centrali della didattica della matematica [..]».

Kac continua il suo racconto. Ritrova le formule di Gerolamo Cardano. L’esaltazione è piena. Aveva sedici anni.

NOTE

[1] Moritz Cantor in Ettore Bortolotti, Enciclopedia delle Matematiche Elementari, Hoepli.

[2] Molti sono gli storici a dirla di Cardano-Tartaglia

[3] Questa precisazione di Cardano sembra dar ragione agli storici che indicano il 1515 come anno della scoperta di Dal Ferro. «L’Ars Magna comincia coll’osservazione che l’equazione x²= a ha due radici, e che l’equazione x⁴-7x²+12=0 ne ha quattro. L’equazione x^m=0, se m è dispari, ha una sola radice. Segue la risoluzione dell’equazione di 2° grado, la teoria della trasformazione delle equazioni, e lo studio dei sistemi lineari e non lineari. Viene ora la risoluzione dell’equazione di 3° grado, non solo per il tipo x³+ax = b considerato da Dal Ferro, ma anche per tutti gli altri possibili; e, quando occorre, viene ridotto a zero il secondo coefficiente mediante una trasformazione a radici aumentate o diminuite».[da G. Vivanti in PdM, 4/1924]