Intuizionismo in matematica

Il termine ‛intuizionismo’ è stato spesso causa di equivoci. Esiste una vaga o addirittura nessuna connessione fra la matematica intuizionista e le scuole filosofiche omonime. In particolare i matematici intuizionisti non pretendono di possedere una conoscenza immediata e intuitiva del mondo. Un’altra falsa idea è che Brouwer abbia inventato l’intuizionismo col proposito di evitare i paradossi logici. L’intuizionismo mira a fondare una base per la matematica che si possa capire immediatamente senza far ricorso a sottigliezze filosofiche; è una fortunata coincidenza che in tal modo si risolvano anche i paradossi.

Brouwer riuscì nel suo intento analizzando il procedimento del contare.

Quando io conto degli oggetti, li considero uno per uno come entità isolate. Questo atto mentale di fissare la mia attenzione su un oggetto è alla base di tutto il pensiero organizzato. Brouwer lo chiama l’atto di ‟creare un’entità”, sottolineando con ciò che si tratta di un’attività mentale. Dipende dalla mia volontà quali oggetti conto; per esempio, posso contare le persone che stanno in una stanza, ma posso anche contare le loro dita. In un dato momento, nella mia mente non c’è una collezione di oggetti distinti, ma un tutt’uno in cui io isolo determinate entità per mezzo di un atto mentale più o meno consapevole. Bisogna rendersi ben conto del fatto che il verbo creare nella espressione ‛creare un’entità’ ha un significato diverso che nell’espressione, per esempio, ‛creare un’opera d’arte’. Dopo essere stato creato, un quadro esiste nel mondo esterno, mentre questo non avviene per le entità create mentalmente.

Un’ulteriore analisi mostra che io fisso la mia attenzione non su di un oggetto, ma su qualche sensazione. La nozione di oggetto è troppo complicata; nasce dalla combinazione di parecchie sensazioni, ricordi e aspettative. Vero è che nella maggioranza dei casi una sensazione è immediatamente e spesso inconsciamente associata alla nozione di un oggetto, tuttavia la sensazione deve essere considerata come primaria. Inoltre, in matematica, la natura della sensazione è inessenziale, si può astrarre da essa. Per esempio, nel costruire il numero 5, la natura delle entità che costituiscono questo numero è del tutto irrilevante. Dopo aver creato un’entità, io posso fissare la mia attenzione su un’altra sensazione, trattenendo la prima nella memoria. Brouwer chiama questo atto un ‛passaggio di tempo”.

Iterando questo processo io costruisco mentalmente i numeri naturali.

È chiaro che questi numeri, essendo costruiti mediante un atto mentale, non esistono al di fuori della mia mente; sono oggettivi per quel tanto che io posso indurre un’altra persona ad effettuare la corrispondente costruzione mentale. Ogni tentativo di fondare la matematica intuizionista sulla logica o sulla filosofia è destinato a cadere in un circolo vizioso, poiché la logica e la filosofia, come qualsiasi altra scienza, fanno uso di un sistema di entità collegate da certe relazioni, e proprio questi sono i concetti fondamentali della matematica stessa. La matematica è una libera attività mentale; creare mentalmente un’entità è un atto che ognuno compie ogni giorno quasi continuamente.

Possiamo costruire teorie filosofiche a proposito di questa attività, ma soltanto a posteriori.

Questo vale in particolare per il presente articolo, che ha lo scopo di descrivere la matematica intuizionista, non di fondarla filosoficamente. […] L’intenzione del matematico intuizionista è di rendere la matematica indipendente sia dall’esperienza sia da presupposti filosofici. I matematici classici non ottemperano a questa condizione poiché sono convinti dell’esistenza di un mondo di oggetti matematici. Per l’intuizionista gli oggetti matematici sono generati da una costruzione mentale; essi esistono soltanto nella mente. Nella vita quotidiana ognuno fa continuamente delle semplici costruzioni matematiche mediante le quali ordina la sua esperienza. C’è uno sviluppo graduale da questa forma primitiva di matematica alle complicate costruzioni astratte degli specialisti. In linea di principio la matematica è indipendente dalle sue espressioni linguistiche; comunque il linguaggio è indispensabile per la comunicazione e per aiutare la memoria.

L’uso del linguaggio è essenzialmente lo stesso in matematica e nella vita quotidiana.

I matematici sono esseri umani e come tali possono sbagliare. Il linguaggio può aiutarli ad evitare confusioni, in particolare quando vengono studiate nozioni inusuali, fornendo l’opportunità di enunciare esattamente quali proprietà della nozione in questione verranno usate. Era questo il caso, in particolare, della teoria delle successioni di scelte, che non è mai stata abbastanza chiara prima che venisse costruito per essa un sistema formale. Ciò non significa naturalmente che il sistema formale sia più importante ovvero che preceda la nozione di successione di scelte, ma soltanto che era necessario fissare le proprietà delle successioni di scelte che devono essere usate nelle dimostrazioni. In logica matematica si studia la combinazione di dimostrazioni; dato che una dimostrazione è a sua volta una costruzione matematica, la logica è una parte della matematica. Poiché la maggior parte delle dimostrazioni è complicata, la logica appartiene alla matematica superiore; non è a suo fondamento.

Per dimostrare un teorema non abbiamo bisogno di una teoria generale delle dimostrazioni.

La logica matematica deve essere mantenuta rigidamente distinta dall’indagine sulle regolarità del linguaggio. Questa forma tradizionale di logica appartiene alla matematica applicata.

La logica matematica intuizionista differisce dalla logica a due valori per l’interpretazione dell’esistenza matematica. Dire che un oggetto matematico esiste non può significare altro se non che tale oggetto è stato costruito mentalmente. La maggior parte dei matematici ragiona come se l’oggetto potesse esistere prima di venir costruito, o supponendo che l’oggetto sia stato costruito precedentemente; ma tali argomentazioni non appartengono alla matematica.

La concezione costruttivista dell’esistenza matematica porta immediatamente al rifiuto del principio del terzo escluso come teorema matematico generale. Molti capitoli dell’analisi possono essere sviluppati costruttivamente, anche senza l’uso della negazione, sicché vengono evitate anche le dimostrazioni indirette. Alcuni teoremi sono validi soltanto sotto condizioni ulteriori e alcune dimostrazioni sono più complicate, ma le complicazioni non sono intollerabili e sono bilanciate dal fatto che in esse viene convogliata una maggiore quantità di informazione, poiché ogni dimostrazione di esistenza fornisce nello stesso tempo un metodo di costruzione.

Le successioni di scelte sono necessarie per ottenere una soddisfacente teoria del continuo. Non esiste una teoria analoga nella matematica classica, dove non si può introdurre la nozione di successione di scelte. Quando si studia l’analisi sul continuo intuizionistico, alcuni risultati contraddicono verbalmente certi teoremi classici, ma le contraddizioni sono soltanto apparenti, poiché l’interpretazione è diversa. In un caso del genere, il teorema classico non possiede un’interpretazione intuizionistica, poiché presuppone, come dato essenziale, l’esistenza del continuo come un tutto.

La matematica intuizionista e quella classica partono entrambe in stretta connessione con l’esperienza; entrambe trascendono i limiti dell’esperienza in un libero sviluppo astratto. È in queste parti astratte che esse divergono in maniera più spettacolare. Per esempio, le parti della teoria degli insiemi che riguardano i grandi cardinali non hanno un equivalente intuizionistico. Alcuni matematici considerano questo fatto un impoverimento, ma l’intuizionista giudica le teorie per cui non dispone di alcuna interpretazione meno importanti delle sottili distinzioni logiche dell’intuizionismo e meno importanti degli interessanti problemi sollevati dalla teoria delle successioni di scelte, che a sua volta non ha un equivalente classico. Egli spera di contribuire, con il suo lavoro astratto, alla chiarificazione del pensiero umano in generale.Arend Heyting, Intuizionismo - Enciclopedia del Novecento