Quattro passi sulla tavola di Mondrian

A proporre quattro passi sulla tavola di Mondrian – pensata per mettere in mostra gli apprendimenti attesi a conclusione del Liceo scientifico – è l’ispettore Domenico Bruno.

Ibam forte via sacra, sicut meus est mos,
nescio quid meditans nugarum, totus in illis:…
      ORAZIO, Satire I 9, 1-2.

«La tavola di Mondrian mostra i traguardi di apprendimento a conclusione del liceo scientifico desunti da una lettura collegiale delle Indicazioni Nazionali voluta da uno specifico progetto ministeriale (2011-2013). Vi sono riportati 21 punti focali, distillati dalle  Indicazioni Nazionali, ai quali i docenti possono riferirsi per progettare il loro insegnamento e che gli estensori della prova scritta di matematica agli esami di Stato dovranno tenere presenti nella predisposizione della medesima».

Ma essa può apparire anche come la pianta di una città, nella quale tutte le strade si tagliano ad angolo retto; da ciò l’idea dei “quattro passi”, seguendo un “itinerario turistico”, nel quale i “monumenti” e i “posti caratteristici” da visitare sono stati da me scelti con l’intento di suscitare interesse e fornire spunti di discussione.

L’ itinerario che seguiremo, che, per comodità, indicherò con la notazione matriciale, sarà il seguente: partendo dalla casella a₁₁, proseguiremo poi in  a₁₃ →a₁₅→a₂₄→a₃₂ (dove ci occuperemo solo dell’ “inquilino” che sta al piano di sotto)  e concluderemo la “passeggiata” in a₂₅.

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Il nostro “itinerario turistico” prende quindi le mosse dalla casella a₁₁, nella quale campeggia una curva piana chiamata cicloide, un luogo geometrico che andiamo subito a definire.

Quando un cerchio rotola senza strisciare sopra una curva, ogni punto rigidamente collegato al cerchio descrive una linea che si dice cicloide della curva data, e precisamente cicloide ordinaria se il punto generatore appartiene alla circonferenza del cerchio mobile, accorciata se è interno al cerchio, e cicloide allungata se il punto è esterno. Le cicloidi erano note fin dall’antichità: infatti Claudio Tolomeo (138-180 d.C.) le usava molto ingegnosamente per descrivere il movimento dei pianeti. Hanno notevole importanza le cicloidi della retta e quella raffigurata in a₁₁ è appunto la cicloide ordinaria della retta. Essa si compone di infinite arcate, tutte uguali, le quali poggiano sulla base in punti che distano l’uno dall’altro di 2πr , essendo r il raggio del cerchio generatore; ad una delle dette arcate si limita, di solito, il nome di cicloide.

Assumendo come origine O di un sistema ortogonale l’origine di un’arcata e come asse x la base, detto φ l’angolo di rotazione, le equazioni parametriche della cicloide sono:

x= r(φ – senφ)         y=r(1-cosφ)

L’area della cicloide vale 3 volte l’area del suo cerchio generatore: A=3πr². Questo risultato fu ottenuto da Galileo col metodo della pesata, che consiste nel tracciare su un cartoncino omogeneo il diagramma della funzione da integrare e nel pesare tanto il trapezoide corrispondente, quanto il quadrato costruito sullo stesso cartone e avente per lato l’unità di misura; il rapporto tra le loro masse esprime il valore dell’integrale.

La lunghezza di un’arcata di cicloide è 8 volte quella del raggio del cerchio generatore.

Si dimostra che la cicloide ordinaria della retta è brachistocrona, è cioè la linea che risolve il seguente problema: un grave è vincolato ad una curva liscia di un piano verticale che congiunge un punto A ed un punto più basso B (non situato sulla verticale di A); si domanda lungo quale curva sarà minimo il tempo necessario per la discesa (Johann Bernoulli).

Nel 1673 Huygens scoprì che se si lascia oscillare un punto pesante lungo una cicloide liscia, contenuta in un piano verticale, il tempo da esso impiegato a giungere nel punto più basso è indipendente dalla posizione del punto di partenza. Pertanto, la cicloide risolve anche il problema della tautocrona, cioè curva percorsa nello stesso tempo.

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Nella casella a₁₃ troneggia quella che Richard P. Feynman (1918 – 1988) ha definito “la più bella formula di tutta la matematica”: e^iπ+1=0 (*) e la definizione è ben azzeccata, dato che nella (*) figurano 5 numeri di primaria importanza: il numero di Napier, e, base dei logaritmi naturali; l’unità immaginaria, i; il rapporto fra la circonferenza rettificata ed il diametro, π; l’elemento neutro di fronte alla moltiplicazione, 1; l’elemento neutro di fronte all’addizione, 0.

La formula (*) ci ricorda ovviamente la forma esponenziale di un numero complesso z, che si ottiene dalla sua forma trigonometrica z=ρ (cosθ+isenθ), dove ρ è il modulo e θ  l’argomento, ponendo

e^iθ = cosθ + isenθ (formula di Eulero).

Si ha così z=ρe^iθ e per ρ=1 e θ =π si ottiene appunto la (*).

Ma c’è di più: la (*) ci consente di dimostrare che  è un numero trascendente, cioè che non è radice di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali (quelli che invece lo sono si dicono numeri algebrici); vediamo subito come.

Nel 1882 Ferdinand Lindemann dimostrò che:
“Qualunque siano i numeri algebrici, reali o complessi, distinti λ₁,λ₂,   ,λ_n e i numeri razionali interi  N₁,N₂, …, N_n  non tutti nulli, è sempre:

N₁ e^λ1 + N₂ e^λ2 + … + N_n e^λn ≠ 0

Per conseguenza il numero e non può soddisfare ad alcuna equazione algebrica a coefficienti interi, e perciò esso è trascendente. Ne segue pure la trascendenza di π, perché essendo e^iπ+1=0,  iπ non può essere algebrico, e poiché i (come radice dell’equazione x²+1=0 ) è algebrico, π non può essere che trascendente.

Prima di lasciare “la più bella casella di tutta la tavola di Mondrian”, daremo qualche ulteriore informazione sui numeri complessi.

È ben noto che un numero complesso si può presentare sotto quattro forme: come coppia ordinata (a,b) di numeri reali, nella forma algebrica a+ib e nelle già citate forme trigonometrica ed esponenziale.

Meno conosciuta è una sua quinta forma: quella di matrice quadrata di ordine 2. Si dimostra facilmente che l’insieme delle matrici di cui sopra è un campo numerico in isomorfismo aritmetico con il campo C dei numeri complessi (nella forma algebrica). Bisogna ovviamente tener conto dell’algebra delle matrici: somma, prodotto (righe per colonne), matrice inversa.

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Nella casella a₁₅ ci imbattiamo nei poliedri regolari convessi, dei quali tratta il libro XIII degli “Elementi” di Euclide.

I poliedri regolari convessi sono i solidi le cui facce sono poligoni regolari uguali e i cui angoloidi sono pure uguali. Sono solo cinque, perché la somma delle facce di un angoloide è minore di quattro angoli retti e un angoloide ha almeno tre facce.

Vediamo quanti possono essere i poliedri regolari le cui facce sono triangoli equilateri. Siccome gli angoli di questi triangoli sono di 60°, non possono esistere angoloidi con più di cinque facce di tale ampiezza, e quindi esistono tre soli angoloidi, rispettivamente con tre, quattro, cinque facce di 60°. A questi angoloidi corrispondono tre poliedri regolari a facce triangolari: il tetraedro (4 facce), l’ottaedro (8 facce) e l’icosaedro (20 facce).

Analogamente si stabilisce che esiste un solo poliedro con 6 facce quadrate (angoli di 90°): l’esaedro o cubo; un solo poliedro regolare con 12 facce pentagonali (angoli di 108°): il dodecaedro. Non esistono poliedri regolari le cui facce sono esagoni regolari (angoli di 120°), ma in compenso è possibile pavimentare una sala o un corridoio con mattonelle esagonali.

I poliedri regolari furono chiamati anche solidi platonici, proprio perché Platone ne parla nel “Timeo”, assegnando ad essi un ruolo nella sua concezione della materia e dell’universo.

Platone associa i primi quattro poliedri regolari ai quattro elementi, fuoco, aria, acqua e terra, che erano alla base della concezione dell’universo del filosofo agrigentino Empedocle. Precisamente, fa corrispondere il tetraedro al fuoco, l’ottaedro all’aria, l’icosaedro all’acqua ed il cubo alla terra. Meno chiaro è il cenno al dodecaedro: “Ma, essendovi ancora una quinta combinazione, Iddio se ne servì per decorare il disegno dell’Universo”.

Archimede per primo descrisse una nuova famiglia di poliedri, composta di 15 solidi chiamati semiregolari o archimedei. Essi hanno facce regolari (ma non tutte dello stesso numero di lati) ed angoloidi tutti uguali (ma, perciò, non regolari): 12 hanno facce di due tipi e 3 facce di tre tipi.

Un esempio del primo gruppo è l’icosidodecaedro, che ha 32 facce (20 triangoli equilateri e 12 pentagoni regolari); un esempio del secondo gruppo è l’icosidodecaedro tronco, che ha 62 facce (30 quadrati, 20 esagoni regolari e 12 decagoni regolari).

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Nella casella a₂₄ troviamo un’immagine che ci lascia interdetti: una superficie sferica, sulla quale è tracciato un triangolo con tre angoli retti.

Pensiamo che si tratti di uno scherzo, poiché ci hanno insegnato che “la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto”. E invece non è uno scherzo, perché tale teorema vale nel piano, ma non su di una superficie sferica. Un triangolo sferico è la figura formata da tre punti A, B, C, non situati sul medesimo cerchio, e dagli archi (di cerchio massimo), minori di una semicirconferenza, che li congiungono due a due. La somma degli angoli di un triangolo sferico è maggiore di due retti e minore di sei retti.

Un triangolo sferico trirettangolo lo possiamo tracciare (virtualmente) sulla superficie terrestre; il primo vertice (per noi che viviamo nell’emisfero boreale) coinciderà col Polo Nord e gli altri due si troveranno sull’Equatore: l’uno nel punto in cui questo interseca il meridiano di Greenwich (si trova nell’Oceano Atlantico e precisamente nel Golfo di Guinea, 333 miglia marine a sud di Accra, nel Ghana), l’altro nel punto di coordinate 0°N 90°W, che si trova nell’Oceano Pacifico e precisamente nelle Isole Galápagos.

La differenza fra la somma degli angoli del triangolo e due retti si dice “eccesso sferico ε”; l’area di un triangolo sferico è data dal prodotto del quadrato del raggio della sfera, per l’eccesso sferico del triangolo (misurato in radianti): A=r²·ε. Nel caso della nostra immagine, l’area del triangolo sarà pertanto r²·π/2.

Le considerazioni fatte sui triangoli sferici sono certamente interessanti; ma la casella a₂₄ ci suggerisce molto di più: ci introduce nel mondo delle geometrie non euclidee, quelle geometrie cioè che prescindono dal V postulato di Euclide.

Nel I libro degli “Elementi”, Euclide lo enuncia così:

“Se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angoli la cui somma è minore di due retti”.

Dal III secolo a.C. fino alla prima metà del XIX secolo d.C. , per più di due millenni, matematici, logici, filosofi si sforzarono invano di dimostrare il V postulato di Euclide, servendosi dei primi quattro postulati e delle prime 28 proposizioni del I libro degli “Elementi”. Finalmente il russo Nikolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856) e l’ungherese Janos Bolyai (1802-1860) risolsero completamente la questione, stabilendo che il V postulato è effettivamente indipendente dagli altri e creando una geometria non euclidea, detta geometria iperbolica.

La storia dei varî tentativi, i risultati ottenuti e i loro ulteriori sviluppi non possono però trovar posto nella nostra “passeggiata”: per tutto ciò si rimanda, ad es. , all’opera di N.I. Lobacevskij, citata nella bibliografia e, segnatamente, al saggio introduttivo e alle appendici di Lucio Lombardo-Radice.

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Approdiamo ora alla casella “anomala” a₃₂, nella quale ci soffermeremo sul “principio di induzione”.

Possiamo enunciarlo in questo modo:

“Se una proprietà P vale per un numero naturale  e, supposta vera per il numero naturale n, si dimostra vera per il successivo n+1, allora essa vale per ogni numero naturale n≥n₀”.

Come esercizio, lo si potrebbe adoperare, ad esempio, per dimostrare che la somma dei cubi dei primi n numeri naturali è :

S₃= 1³+2³+3³+4³+… +n³ = (S₁)²

Attenzione a non confondere il metodo di cui sopra con l’induzione basata sulla estrapolazione di una legge dopo un buon numero di verifiche o prove, che è il metodo principe delle scienze sperimentali, ma non va bene per la matematica.

Sarà pertanto preferibile parlare di “principio di induzione matematica (o completa)”.

Tale principio lo ritroviamo nella teoria completamente assiomatizzata dei numeri naturali di Giuseppe Peano (Cuneo 1858 – Torino 1932).

Peano fonda la sua teoria sui tre concetti primitivi di “zero, numero, successivo” e sui cinque postulati:

• Zero è un numero.
• Il successivo d’ogni numero è un numero.
• Non esistono due numeri con lo stesso successivo.
• Zero non è il successivo d’alcun numero.
• Ogni proprietà di cui gode lo zero, e anche il successivo di ciascun numero che gode di quella proprietà, appartiene a tutti i numeri.

L’ultimo di questi cinque è proprio il principio dell’induzione matematica.

Purtroppo, la teoria di Peano è meno definitiva di quanto sembri, in quanto, come fa notare Bertrand Russell (1872-1970), ogni progressione verifica i cinque assiomi di Peano. Ricordiamo che Russell chiama progressione una successione della forma

x₀, x₁, x₂, … , x_n,  …

in cui esista un primo termine, un successivo per ciascun termine (non c’è quindi ultimo termine), nessuna ripetizione e in cui a ciascun termine si possa giungere partendo dal primo in un numero finito di passaggi.

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Nella casella a₄₁ troviamo il principio di Bonaventura Cavalieri (Milano 1598 – Bologna 1647), che nella sua massima opera, la “Geometria degli indivisibili”, scritta in latino e pubblicata nel 1635, considerò una figura piana convessa come costituita dalle infinite corde che essa intercetta su un fascio di rette parallele e successivamente ciascuna di queste corde come un rettangolo avente per base la corda e l’altezza piccolissima e ciascuna di tali corde chiamò “indivisibile”.

Analogamente considerò un solido convesso come riempito dalle sezioni con un sistema di piani paralleli ed in tal caso chiamò indivisibile il cilindro di base la sezione e di altezza piccolissima.

Dopo queste premesse, egli enunciò il seguente principio:

1. Se due figure piane finite, segate da un fascio di rette parallele, intercettano su di esse corde di eguale lunghezza, le due figure hanno eguale area.
   Se invece intercettano corde aventi un rapporto costante, le aree delle due figure stanno tra loro nello stesso rapporto delle corde.
2.  Se due solidi, segati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di eguale area, i due solidi hanno eguale volume.
   Se invece intercettano sezioni le cui aree sono in un rapporto costante, i volumi dei due solidi stanno tra loro nello stesso rapporto delle sezioni.

Mediante il principio di Cavalieri risulta immediato dimostrare che parallelogrammi (o triangoli) aventi egual base ed eguale altezza sono equivalenti; che prismi (o piramidi) di base eguale o equivalente ed altezza eguale hanno egual volume; che un prisma ed un cilindro di eguale altezza e basi equivalenti hanno egual volume; che un cono ed una piramide di eguale altezza e basi equivalenti hanno egual volume.

Le più suggestive applicazioni del principio di Cavalieri sono però il calcolo dell’area dell’ellisse e quello del volume della sfera.

Nel primo caso consideriamo un’ellisse di semiassi a, b (con a>b) e la circonferenza concentrica ad essa, di raggio a. Si dimostra facilmente che le due curve staccano sulle rette perpendicolari all’asse x segmenti che stanno tra di loro nel rapporto costante b/a , e quindi anche le aree E dell’ellisse e C del cerchio staranno nello stesso rapporto; se ne deduce

E = b/aπa² = πab

Per quanto riguarda il volume della sfera, si considera una semisfera, il cilindro ad essa circoscritto e il cono che ha il vertice nel centro della sfera e per base quella del cilindro; si chiama ”scodella di Galileo” la parte del cilindro che resta quando si toglie la semisfera (si veda la casella a₄₅ ).

Si dimostra che un qualsiasi piano parallelo alla base del cilindro, sega il cono in un cerchio e la scodella in una corona circolare di eguale area.

Per il principio di Cavalieri, il cono e la scodella hanno lo stesso volume e quindi il volume della semisfera si può ottenere dalla differenza fra il volume del cilindro e quello del cono, cioè

πr³ – 1/3πr³= 2/3πr³

Il volume V della sfera è allora il doppio del valore trovato, cioè

V = 4/3πr³

Facciamo notare che il principio di Cavalieri esprime una condizione sufficiente per affermare che due figure piane finite o due solidi sono equivalenti. Tale condizione non è anche necessaria. Infatti esistono solidi equivalenti (come, ad esempio, un cono ed una sfera di eguale estensione solida) per i quali non è possibile trovare alcun fascio di piani paralleli che li taglino secondo sezioni di eguale area.

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E finalmente siamo giunti alla casella a₂₅ , meta finale del nostro “itinerario turistico”. Attendevamo con ansia questo momento: troveremo ora una risposta all’intrigante (e inquietante) interrogativo: “Chi è aleph-zero?”.

Le aspettative erano varie: si andava dal vecchio ebreo dalla barba bianca (aleph è la prima lettera dell’alfabeto ebraico) alla bellissima donna dai lunghi capelli biondi e dagli occhi verdi.

I fautori di quest’ultima ipotesi rimarranno però alquanto delusi (e sorpresi), scoprendo che aleph-zero è un cardinale, anche se transfinito.

Esso nasce estendendo agli insiemi infiniti il concetto di numero cardinale, o potenza, caratteristico degli insiemi finiti.

Secondo la definizione di Dedekind, “un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio”.

È ad esempio il caso dell’insieme N dei numeri naturali, che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme P dei naturali pari o con l’insieme S dei quadrati dei numeri naturali, ecc.

Il cardinale di N è un cardinale transfinito: esso viene denotato con ℵ₀ (aleph-zero), secondo la notazione datagli da Cantor.

Ogni insieme equipotente all’insieme N dei naturali si dice numerabile e la sua potenza ℵ₀ potenza del numerabile. Ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è numerabile e non esiste alcun insieme infinito di potenza inferiore alla potenza del numerabile: ℵ₀ è il più piccolo numero cardinale transfinito.

Aleph-zero gode delle seguenti proprietà:

1. Per ogni n cardinale finito è: ℵ₀+ n = ℵ₀.
2. ℵ₀+ ℵ₀=  ℵ₀,      n·ℵ₀= ℵ₀(n ≠ 0).
3. ℵ₀ · ℵ₀ = ℵ₀,        ℵ₀ⁿ = ℵ₀

Oltre all’insieme N dei numeri naturali, sono numerabili: l’insieme Z dei numeri interi relativi, l’insieme Q dei numeri razionali relativi, l’insieme  dei numeri complessi algebrici, l’insieme  dei numeri reali algebrici.

Siamo ormai sul punto di ritornare a casa, quando dall’ombra alle spalle di aleph-zero , emerge all’improvviso un altro strano personaggio, totalmente ordinato e bene ordinato , che porta al collo un cartellino con su scritta l’ultima lettera dell’alfabeto greco. Vuole forse darci il segnale della “fine”, o quello è proprio il suo nome? Chi è, insomma questo “omega” ?

Cominciamo col ricordare che un medesimo numero naturale, p. es. il 5, ha due significati concettualmente ben distinti: un significato cardinale e uno ordinale.

Cinque come numero cardinale risponde alla domanda: “quanti sono gli oggetti del dato insieme?”; invece cinque nel significato ordinale risponde alla domanda: “qual è il posto che il dato oggetto ha nel dato insieme ordinato?”.

Nel caso dei numeri cardinali finiti, a ogni numero cardinale, n, corrisponde un solo numero ordinale, che di conseguenza si suol indicare con il medesimo simbolo n. Invece, a un numero cardinale transfinito, e faremo subito l’esempio della potenza del numerabile, sono associati diversi numeri ordinali.

L’insieme dei naturali ordinati secondo grandezza

1, 2, 3, …, n, …

definisce il più piccolo dei numeri ordinali transfiniti, che Cantor chiama appunto w.

Trasformiamo adesso questo insieme, trasportando alla fine l’1; otteniamo:

2, 3, …, n, …, 1.

Tra i due insiemi non si può stabilire una corrispondenza biunivoca che conservi l’ordinamento: ciò perché nel primo insieme tutti i numeri diversi da 1 hanno un precedente immediato, mentre nel secondo insieme c’è un elemento, l’1, senza precedente immediato e privo di successivi.

Il numero ordinale del secondo insieme si indica con il simbolo:

w + 1 > w.

Nell’insieme

2, 4, …, 2n + 2, …, 1, 3, …, 2n + 1, …

un dispari segue ogni pari; i dispari sono ordinati secondo grandezza, e così i pari. Il suo numero ordinale si indica con il simbolo 2w.

Se invece aggiungiamo un termine al principio d’una successione ordinata anziché alla fine, abbiamo ancora una successione ordinata. E allora 1+w = w; quindi 1+w non è uguale a w + 1.

Nel campo transfinito le operazioni sui numeri cardinali e le operazioni sui numeri ordinali obbediscono a leggi formali diverse.

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Qui finisce il nostro “itinerario turistico” e con esso il mio compito di “cicerone” improvvisato (dopotutto sono un fisico) e un po’ scanzonato.

Le informazioni fornite sugli 8 punti focali prescelti non sono certo esaustive, ma spero bastino a far sorgere nel lettore il desiderio di saperne di più: sarebbe davvero un gran bel risultato.

BIBLIOGRAFIA.

1. 1. BORTOLOTTI, Storia della matematica elementare. Hoepli, Milano, 1954
   2. BRUSOTTI, Poligoni e poliedri. Hoepli, Milano, 1958
   3. CASTELNUOVO, Lezioni di Geometria analitica. Dante Alighieri, Milano, 1946
   4. CHIELLINI – R. GIANNARELLI, L’esame orale di matematica. Veschi, Roma, 1962
   5. CIPOLLA, La matematica elementare. Macrì, Firenze, 1948
   6. COLERUS, Piccola storia della matematica. B.M.M., Milano, 1962
   7. LECCESE, Elementi della teoria ingenua degli insiemi. Sansoni Scuola aperta, Firenze, 1973
   8. N.I. LOBACEVSKIJ, Nuovi princípi della geometria. Boringhieri, Torino, 1963
   9. LOMBARDO-RADICE, Istituzioni di algebra astratta. Feltrinelli, Milano, 1965
   10. MARLETTA – G. APRILE, Trattato di Geometria. S.E.I., Torino, 1966
   11. RUSSELL, Introduzione alla filosofia matematica. Longanesi, Milano, 1962
   12. WEYL, Filosofia della matematica e delle scienze naturali. Boringhieri, Torino, 1967.

A meno di qualche lieve cambiamento nella premessa  l’articolo riproduce quello pubblicato sul n. 3/2014 pagg. 7-17 del Periodico di Matematiche.