Matematica: un esercizio per la maturità

Risultati di apprendimento a conclusione del Liceo scientifico. Un esercizio di riscaldamento in vista della prova scritta dell’esame di Stato.

Il tema di matematica che si propone è articolato in due problemi e otto quesiti secondo l’oramai abituale format adottato per la seconda prova scritta dell’esame di Stato conclusivo dell’indirizzo di Liceo scientifico.

Il tema è stato pensato cioè per gli studenti delle classi quinte. Può costituire  lo strumento per saggiare, in un momento di verifica collettiva,  la preparazione matematica conseguita dalla classe a conclusione dei cinque anni di liceo o anche per una simulazione della prova scritta della maturità. In entrambi i casi, sarà, per ogni studente che vi si impegni, un buon esercizio di riscaldamento in vista della prova scritta di giugno per affrontarne al meglio e positivamente le diverse parti.

I problemi e i quesiti del tema, infatti, sono stati selezionati attingendo dalle prove scritte ministeriali degli ultimi anni scegliendo quelli che sono risultati i più significativi per le finalità formative dell’insegnamento della matematica e i più innovativi sotto gli aspetti concettuale, formale e storico-culturale.

Ecco il tema di matematica

PROBLEMA 1

Nella figura che segue è riportato il grafico di g(x) per -2≤ x ≤5 essendo g la derivata di una funzione f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2, 0) e raggi rispettivi 2,1, ½.

1. Si scriva un’espressione analitica di g(x). Vi sono punti in cui g(x) non è derivabile? Se sì, quali sono? E perché?
2. Per quali valori di x, -2 <x <5, la funzione presenta un massimo o un minimo relativo? Si illustri il ragionamento seguito.
3. Se , si determini e f(4) e f(1).
4. Si determinino i punti in cui la funzione f  ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di f(x)? Qual è l’andamento qualitativo di f(x)?

PROBLEMA 2

Dalla copertina del PdM 2/2011

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

ƒ(x) = x³ – 16x  e  g(x)= sen π/2 x

1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [–10; 10] e se ne indichino le coordinate.
2. L’architetto rappresenta la superficie libera dell’acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull’intervallo [0; 4]. Si calcoli l’area di R.
3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y = – 15 e y = – 5, l’architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell’acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un’approssimazione a meno di 10^-1 ).
4. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y, la misura della profondità dell’acqua nella piscina è data da h(x) = 5 – x. Quale sarà il volume d’acqua nella piscina? Quanti litri d’acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?

QUESITI

1. Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0, 99 di colpirlo almeno una volta?

2. Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

3. Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.
4. In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Forse che non esiste un quadrato che sia equivalente ad un cerchio dato?
5. In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano “quasi uguali”, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% o del 25%) corrispondono aumenti di capacità (volume) di circa 33% (oppure 75% o 100%: raddoppio)”. È così? Si motivi esaurientemente la risposta.
6. Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 721-esima posizione?
7. Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area 1m² e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b ?
8. Sia f la funzione, definita per tutti gli x reali, da:

f (x) = (x − 1) ² + (x − 2) ² + (x − 3) ² + (x − 4) ² + (x − 5) ² ,

si determini il minimo di f .

NOTE

• Il problema 1 inverte la richiesta abituale: assegnata y=f(x) disegnarne il grafico. È il primo  problema (2010) a chiedere: dato il grafico, trovare y=f(x).
• Il problema 2 fu proposto nel 2011 e fu scelto dal 76% dei 42000 candidati circa che avevano frequentato il PNI: una novità il punto 4. Un docente, nell’indagine Matmedia, la definì una “anomalia”.
• La formulazione del quesito 4 è nuova e il libro al quale ci si riferisce nel quesito 5 è Saper vedere in Matematica di Bruno de Finetti. Entrambi sono stati scelti perché danno rilievo all’aspetto educativo del saper leggere e scrivere in matematica.
• Il termine “esercizio di riscaldamento” è di Donald E. Knuth. Per il suo significato si veda: Esercizi e problemi di matematica concreta