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In classe a ragionare sulla sfera

Limitate catene deduttive (LCD) in geometria dello spazio. Attività laboratoriali su un problema della sfera e altri quesiti di maturità.

Attività laboratoriale

Spesso capita, all’insegnante, di soffermarsi su una questione geometrica di un certo interesse e coglierne alcuni spunti per  la formulazione di un problema.

La questione viene  ampliata, generalizzata,  collegata con altri argomenti e, generalmente, adattata agli obiettivi didattici o ai criteri di valutazione dello stesso docente.

In alternativa all’esercizio da risolvere a casa o in classe, si può proporre agli studenti un’attività laboratoriale in cui possano collaborare essi stessi, con le loro domande e le loro osservazioni, alla formulazione di uno o più testi.

Oltre a dimostrare la verità di una affermazione, verificare una congettura o risolvere quesiti a carattere quantitativo, gli studenti saranno invitati a trovare la risposta ad alcuni interrogativi, di particolare interesse, scaturiti nel corso dell’attività.

Il supporto di un software di geometria dinamica, oltre ad essere utile per la costruzione delle figure o per la verifica delle risposte, può anche suggerire ulteriori congetture.

L’esempio che si vuole proporre  parte da un quesito preso dalla rubrica “Questioni proposte” delle prime stagioni del Periodico della Mathesis: una sezione in cui i lettori potevano intervenire inviando le loro soluzioni.

Il testo richiede una semplice dimostrazione geometrica che si rivela, però, versatile e ricca di spunti didattici.

Siano dati nello spazio tre punti A, B, C, non allineati; dimostrare che, se un segmento è visto sotto angolo retto da ciascuno dei tre punti, è visto sotto angolo retto anche da ogni altro punto della circonferenza Γ circoscritta al triangolo

La catena deduttiva che porta a verificare la tesi può essere molto breve se si assume come punto di partenza l’affermazione «Il luogo geometrico dei punti  da cui un determinato segmento   è visto sotto angolo retto è la superficie sferica di diametro».

Se si rimane fedeli alla formulazione del quesito,  la dimostrazione diventa più articolata e sposta l’attenzione su ulteriori aspetti del problema.

Naturalmente, qualunque sia l’itinerario seguito, si arriverà a verificare che  tutti i punti  della circonferenza circoscritta  al triangolo ABC appartengono la superficie sferica di diametro .

Questo risultato giustifica il titolo, vagamente evocativo, assegnato all’esercitazione, con riferimento al fatto che gli oggetti geometrici su cui si lavora appartengono ad una superficie sferica S o si trovano al suo interno.

La “sfera” suggerisce anche eventuali collegamenti con la fisica o l’astronomia, di cui però non si tiene conto in questo lavoro.

Il tema permette un confronto tra l’ambiente “spazio” e l’ambiente “piano”, superando alcuni schemi divisori che rischiano di diventare compartimenti stagni.

Ecco alcuni esempi di attività  laboratoriali, la cui scelta non è ovviamente esaustiva.

La formulazione del problema

Alle 4 attività fa seguito la formulazione di due problemi, in cui  gli argomenti precedenti diventano oggetto di richieste legate a determinati obiettivi di apprendimento e finalizzate a valutare abilità o competenze diverse.

Il primo problema sviluppa gli argomenti affrontati in tutte e quattro le attività.

In particolare:

  • Luogo geometrico dei punti del piano o dello spazio che vedono un segmento assegnato sotto un angolo retto
  • Luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dai tre vertici di un triangolo
  • Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza e tetraedro regolare inscritto in una sfera
  • Perpendicolarità tra rette nello spazio, angolo tra due rette
  • Prodotto scalare di due vettori
  • Superficie conica generata dalla rotazione di un segmento intorno a una retta ad esso incidente. Cono di volume massimo fra tutti quelli che hanno uguale apotema.

Il secondo problema prende in considerazione argomenti delle attività 1 e 3, ampliandone i riferimenti:

  • relazione tra l’area di una sezione piana della sfera assegnata e la distanza tra piano secante e centro della sfera
  • rappresentazione cartesiana e parametrica di una circonferenza nello spazio
  • elementi di calcolo vettoriale
  • piano perpendicolare a una retta assegnata .

Ecco i due problemi con le relative soluzioni.

PROBLEMA 1

  1. Siano dati nello spazio tre punti A,B,C non allineati; dimostrare che, se un segmento MN è visto sotto angolo retto da ciascuno dei tre punti A,B,C, è visto sotto angolo retto anche da ogni altro punto della circonferenza Γ circoscritta al triangolo ABC.  Dopo aver mostrato  che A,B,C appartengono alla stessa superficie sferica S di diametro MN= 2R, si dia l’equazione di S in un riferimento cartesiano Oxyz in cui il suo centro coincida con l’origine e il raggio R abbia lunghezza uguale a 4.
  2. Nel riferimento cartesiano Oxyz si  consideri la circonferenza Γ  di raggio r , intersezione di S col piano z=-2 e si inscriva in essa un triangolo equilatero ABC, avente il vertice A nel punto di coordinate A(0, r, -2). Si determinino le coordinate dei punti A,B.C . Esiste, internamente a S,  un quarto punto D tale che i quattro punti A,B,C,D siano a due a due equidistanti?
  3. Sia M il punto di coordinate (0, 2√3, 2)   ed N il suo simmetrico rispetto all’origine O.  Indicato con P un punto generico sulla circonferenza Γ’, intersezione di S col piano xy, si determini il valore massimo e il valore minimo dell’area del triangolo PMN.
  4. Un  segmento  MN, diametro della sfera S,  genera , in una rotazione completa intorno all’asse z, due superfici coniche .  Si determini il valore massimo che può assumere il volume  dei coni corrispondenti. Qual è il rapporto tra il volume complessivo dei due coni di volume massimo e il volume della sfera S?

La soluzione del problema 1

PROBLEMA 2

 In un riferimento cartesiano  Oxyz è data la superficie sferica S di equazione x2+y2+z2 =16

  1. Un piano α, parallelo al piano xy intercetta sulla sfera una sezione la cui area è uguale ai  3/4   di un suo cerchio massimo .   Si dia  una rappresentazione cartesiana o parametrica della circonferenza Γ intercettata su S dal piano α, nel caso in cui quest’ultimo appartenga al semispazio z<0
  1. Si determinino gli estremi M, N di un diametro di  S appartenente al primo e al terzo  quadrante del piano yz, sapendo che il vettore \overrightarrow{OM}  forma un angolo di 30° con la direzione positiva dell’asse y.
  2. Si determinino gli estremi della corda AB intercettata su Γ dal piano perpendicolare a   MN nel suo punto medio
  3. Si dica, motivando la risposta, se  la seguente affermazione è vera o è falsa:

«Fra tutti i triangoli aventi per vertici il punto M, il punto N e un punto P appartenente a Γ, quelli di area massima sono MNA e MNB»

La soluzione del problema 2

Autore

  • Adriana Lanza

    Laureata in matematica, all'Università “La Sapienza” di Roma  . Vincitrice di concorso a cattedra per la classe matematica e fisica, ha  insegnato a Roma nel liceo scientifico  “Cavour” e ha collaborato con la S.S.I.S del Lazio in qualità di insegnante accogliente per i tirocinanti. In pensione dal 2009, ha partecipato al progetto del MIUR “La prova scritta di Matematica degli esami di Stato nei Licei Scientifici: contenuti e valutazione”  . Collabora alle attività di formazione della Mathesis.

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