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La circonferenza rettificata

Tra le costruzioni elementari ideate prima e dopo Lindemann, quella di Specht fornisce forse la migliore approssimazione della circonferenza rettificata.

Un quesito proposto qualche settimana nel testo di una prova predisposta per le esercitazioni agli esami della maturità 2024 chiedeva:

In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Forse che non esiste un quadrato che sia equivalente ad un cerchio dato?

Ovviamente il problema non è di esistenza ma di costruibilità*. Poiché un cerchio di raggio r ha area πr2, il problema di costruire un quadrato con area uguale a quella di un dato cerchio di raggio unitario equivale a costruire come lato del quadrato richiesto un segmento di lunghezza √π.

Si potrà costruire questo segmento se e soltanto se è costruibile il numero π. Per quel che sappiamo sui numeri costruibili, dovrebbe cioè esistere un campo Ck, ottenuto con l’aggiunta successiva di radici quadrate di elementi di Q, al quale π appartenga. In altre parole π dovrebbe essere un numero algebrico perché tutti e soli i numeri costruibili sono algebrici. Così però non è: π è un numero trascendente e dunque non costruibile elementarmente.

La tecnica necessaria per dimostrare la trascendenza di π è dovuta a Charles Hermite il quale l’aveva utilizzata per dimostrare nel 1873 la trascendenza del numero e di Nepero. Con un metodo che è un’estensione di quello di Hermite, Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939)  riuscì a dimostrare la trascendenza di π nel 1882 e pose così fine alle annose questioni del cerchio, quadratura e rettificazione.

Hobbes come si è visto litigò per anni con John Wallis e non solo con lui per π ma i tentativi di costruzione esatta prima di Lindemann sono numerosissimi. Molti sono ingegnosi ma riescono a fornire solo delle buone approssimazioni.

Fra tutte quelle ideate, quella del matematico tedesco C.G. Specht rimane forse la migliore approssimazione elementare della circonferenza rettificata. Fu pubblicata dal Giornale di Crelle nel 1828**.

 

Nel disegno il cerchio C di centro O e raggio r è tangente alla retta t nel punto A***.

Su t è riportato il segmento AB=11/5r e il suo adiacente BC=2/5r. Sulla perpendicolare a t in A è staccato il segmento AD=OB e da D è condotta la parallela ad OC che interseca t in E. Ovviamente i due triangoli ADE e AOC sono simile. Il risultato della costruzione è questo: il segmento AE differisce dal segmento che rettifica la circonferenza C per meno di un milionesimo del diametro.

Infatti, si ha:

\frac{OB}{r}=\sqrt{\left ( \frac{OA}{r} \right )^{2}+\left ( \frac{AB}{r} \right )^{2}}=\sqrt{1+\frac{121}{25}}=\frac{\sqrt{146}}{5}

D’altra parte i triangoli simili ACO e AED danno:

AE:AC=AD:AO

e quindi essendo per costruzione AC=\frac{13}{5}AO sarà AE=\frac{13}{5}AD= \frac{13}{5}OB

Sostituendo l’espressione calcolata di OB si ha:

AE=\frac{13}{5}\cdot \frac{\sqrt{146}}{5}r= \frac{13}{25}\sqrt{146}\cdot r

dalle quale si ricava:

\frac{AE}{2r}=0,26\sqrt{146}= 3,1415919...

Si ha quindi:

2\pi r=AE=2\left ( 3,1415926... - 3,1415919...\right )r\cong \left ( 0,000.000.7... \right )2r< \frac{1}{1.000.000}2r

August Leopold Crelle (1780-1855)

Nota

*Si ricorda che per Euclide l’esistenza è data dalla costruibilità. Costruibili però sono tutti e soli i numeri algebrici che sono solo una infinità numerabile.

**August Leopold Crelle (1780–1855) era un ingegnere civile prussiano con un grande interesse per la matematica. Questo interesse lo portò a fondare una rivista per promuovere la matematica e incoraggiare i matematici in erba del periodo. Journal für die reine und angewandte Mathematik debuttò nel 1826; fu il primo periodico matematico del suo genere a non limitarsi esclusivamente agli atti di un’Accademia scientifica. Crelle curò il Giornale fino alla sua morte nel 1855, con il risultato che divenne popolarmente noto come Giornale di Crelle. Molti importanti matematici dell’epoca pubblicarono le loro ricerche su questa rivista; in particolare Niels Henrik Abel e Georg Cantor.

***La costruzione è ripresa da Angelo Fadini, Geometria Razionale vol. 2, Mursia (1977)

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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