Quand’è che la composizione di funzioni è commutativa? Dalla ricerca di un esempio alla scoperta di sottoinsiemi speciali: un laboratorio di “Datemi un esempio”.
Dell’importanza degli esempi nell’insegnamento della matematica abbiamo già parlato in altri articoli e in Dagli esempi s’impara abbiamo anche fornito una lista di domande a disposizione dei docenti per le loro attività didattiche. Tra queste ve ne sono un certo numero che si prestano bene a mettere a fuoco la conoscenza delle funzioni e possono rivelarsi buoni esercizi di riscaldamento ( nel senso di Knuth) in vista della prova scritta di giugno 2026 dell’esame di maturità. Ad esempio:
Datemi due funzioni diverse \( f(x) \), \( g(x) \) tali che
\[
f(g(x)) = g(f(x)).
\]
La questione che tocca è centrale: la composizione di funzioni non è commutativa in generale.
\[
f \circ g \neq g \circ f.
\]
Dunque trovare un esempio equivale a cercare quando e perché due funzioni commutano. Se prendiamo, ad esempio, le due funzioni
\[
f(x)=x^2, \qquad g(x)=x+1,
\]
otteniamo:
\[
f(g(x))=(x+1)^2,
\]
\[
g(f(x))=x^2+1.
\]
Le due espressioni non coincidono e ciò conferma che la commutatività non è la regola.
Consideriamo però due funzioni lineari:
\[
f(x)=x+\alpha, \qquad g(x)=x+\beta.
\]
Allora
\[
f(g(x)) = x+\alpha+\beta,
\]
\[
g(f(x)) = x+\beta+\alpha.
\]
Poiché l’addizione è commutativa, si ha
\[
f(g(x)) = g(f(x)).
\]
L’esempio è corretto ed è coerente con il loro significato geometrico: si tratta di traslazioni, e tutte le traslazioni commutano tra loro. È indifferente quale fare prima, l'una o l'altra.
Le traslazioni sono particolari trasformazioni affini. Consideriamo il caso generale. Siano:
\[
f(x)=ax+b, \qquad g(x)=cx+d.
\]
Calcoliamo le composizioni:
\[
f(g(x)) = acx + ad + b,
\]
\[
g(f(x)) = acx + cb + d.
\]
Perché coincidano per ogni \(x\), deve valere:
\[
ad + b = cb + d.
\]
Riorganizzando:
\[
(a-1)d = (c-1)b.
\]
Questa è la condizione generale di commutazione tra funzioni affini.
Scegliamo, ad esempio,
\[
a=2, \qquad c=3.
\]
La condizione diventa:
\[
(2-1)d = (3-1)b
\]
\[
d = 2b.
\]
Se \( b=1 \), otteniamo \( d=2 \).
\[
f(x)=2x+1,
\]
\[
g(x)=3x+2.
\]
Ovvero:
\[
f(g(x)) = 6x+5,
\]
\[
g(f(x)) = 6x+5.
\]
Possiamo ora passare a considerare altre famiglie di funzioni il cui "prodotto" (nel senso della composizione) è commutativo
a) Dilatazioni con centro nell’origine
\[
f(x)=ax, \qquad g(x)=cx.
\]
\[
f(g(x))=acx = g(f(x)).
\]
b) Potenze della stessa base
\[
f(x)=x^m, \qquad g(x)=x^n,
\]
\[
f(g(x)) = (x^n)^m = x^{mn},
\]
\[
g(f(x)) = (x^m)^n = x^{mn}.
\]
c) Una funzione e le sue iterate
\[
f(x)=h(x), \qquad g(x)=h(h(x)).
\]
\[
f(g(x)) = h(h(h(x))) = g(f(x)).
\]
Un’ultima osservazione
Nel corso dell’argomentazione ci siamo mossi in ambiti ben delimitati: prima le traslazioni, poi le trasformazioni affini, quindi alcune famiglie particolari di funzioni.
Non si deve pensare che la composizione sia “quasi” commutativa. Al contrario, la non commutatività è la norma: di esempi è facile darne.
\[
f(x)=\sin x, \qquad g(x)=e^x,
\]
\[
f(g(x))=\sin(e^x),
\]
\[
g(f(x))=e^{\sin x},
\]
che sono chiaramente diverse.
La commutatività emerge solo in classi particolari di trasformazioni. Individuarle significa riconoscere che, all’interno di un contesto generalmente non commutativo, esistono sottoinsiemi strutturalmente speciali. È proprio questa ricerca che trasforma un semplice “datemi un esempio” in un esercizio di autentica costruzione matematica.
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