Dagli esempi s’impara

L’importanza degli esempi e dell’insegnare a costruirli: in classe con i quesiti della maturità e una lista di proposte operative.

Gerberto, che spesso  ama vantarsi di portare il nome che fu del celebre Papa matematico (Gerberto d’Aurillac), insegna Matematica e Scienze nella scuola media. Ai suoi alunni di seconda, dopo aver svolto il teorema di Pitagora con annesse terne pitagoriche, mostra il disegno di un triangolo rettangolo e isoscele di area 2 e chiede:

«Vorrei da voi un esempio di triangolo che sia ancora rettangolo di area 2, ma sia scaleno».

Non deve attendere molto: un allievo mostra il disegno di un triangolo, rettangolo, in cui l’altezza è 1 e la base è 4. Un altro, un triangolo in cui la base è 3 e l'altezza 4/3. La lezione si trasforma così in un laboratorio di proposte; gli esempi si moltiplicano, vengono confrontati, discussi, corretti. Il problema iniziale non si chiude con una risposta, ma apre uno spazio di possibilità.

Questo modo di iniziare la lezione e di coinvolgere gli studenti è tipico dell’insegnamento di Gerberto. In un’altra classe, comincia con una richiesta diversa, ma della stessa natura:

«Datemi un esempio di cento interi consecutivi, dei quali esattamente due siano quadrati perfetti».

Cento? La classe si accorge presto che, dieci, cento o mille, la questione rimanda in realtà al modo in cui i quadrati crescono e si distribuiscono lungo la retta dei numeri, al fatto cioè che la distanza tra quadrati consecutivi cresce. Anche qui il lavoro non consiste nel calcolare, ma nel farsi un’idea generale di ciò che accade e nel costruire un esempio che lo rispetti. In questo contesto, una semplice tavola dei quadrati si rivela uno strumento efficace per orientare le risposte e la loro formulazione.

Una collega di Gerberto, Stefania, insegna invece in un liceo scientifico, ma è solita procedere allo stesso modo: provoca i suoi studenti e li coinvolge con richieste metodologicamente analoghe, come:

«Datemi un esempio di polinomio \(P(x)\) il cui grafico intersechi la retta \(y=2\) in quattro punti».

Qui è evidente che occorre ragionare. Si può partire da un polinomio che interseca l’asse \(x\)  in quattro punti distinti e considerare una sua traslazione verticale, in modo che tali intersezioni avvengano con la retta \(y=2\).

In ogni caso il lavoro non consiste nell’applicazione di una procedura nota, ma nell’esame delle condizioni da soddisfare e nella costruzione di un oggetto che le rispetti. Il risultato non è dato in partenza: emerge attraverso l’esplorazione di vincoli, possibilità e controesempi, fino a individuare una configurazione coerente.

Ciò che accomuna Gerberto e Stefania non è dunque il contenuto specifico delle richieste, né il livello scolastico a cui si rivolgono, ma un preciso modo di intendere il lavoro matematico in classe: insegnare a costruire esempi. In entrambi i casi, l’esempio non è l’illustrazione finale di una teoria già data, né un semplice esercizio applicativo, ma uno strumento di esplorazione che costringe a confrontarsi con strutture, limiti e possibilità.

Questo modo di procedere nell’insegnamento ha alle spalle una tradizione di ricerche ormai consolidata, inquadrabili nelle teorie dell'insegnamento attivo dei metodi euristici e del problem solving.

Richieste dello stesso tipo compaiono nelle tracce della maturità scientifica italiana di alcuni anni fa, dove la capacità di produrre un esempio, di interpretare una condizione o di costruire un oggetto matematico coerente viene assunta come indicatore di una comprensione effettiva, e non di una mera abilità tecnica.

I quesiti che seguono chiedono esplicitamente “un esempio” e compaiono nelle prove scritte della maturità:

- Due numeri reali la cui somma sia uguale al loro prodotto. (2004)
- Una funzione non costante \(g(x)\) tale che \(\lim_{x \to 2} g(x)=3\) ma \(g(2)=4\).(2004)
- Un numero reale \(b\) tale che l’equazione
\[
x^3 + bx - 7 = 0
\] abbia tre soluzioni reali.(2003, Sperimentali)
- Una funzione trigonometrica di periodo \( \frac{2\pi}{3} \).(2003, Sperimentali)
- Un solido la cui area superficiale sia \(24\pi\).(2005, Estero)
- Una funzione con un massimo relativo in \((1,3)\) e un minimo relativo in \((-1,2)\). (2004)
- Un solido il cui volume sia dato da
\[
\int_0^1 \pi x^3\,dx        (2003)
\] - Una funzione razionale il cui grafico abbia due asintoti orizzontali.(2006)

In tutti questi casi l’oggetto della verifica non è l’esecuzione di una procedura standard, ma la capacità di immaginare, costruire e controllare un esempio che soddisfi determinate condizioni. È la stessa competenza che Gerberto e Stefania sollecitano quotidianamente in classe, seppure in contesti e con linguaggi diversi.

Per quanto riguarda l’accoglienza di quesiti di questo tipo, le indagini condotte da Matmedia non rilevarono particolari reazioni. Si trattò tuttavia di una novità che, nel corso degli anni, è rimasta in larga misura inosservata e non sempre riconosciuta come tale.

La lista di problemi–esempio che segue può essere letta come un’ulteriore declinazione di questo stesso approccio: un insieme di richieste aperte che invitano a pensare la matematica come attività di costruzione e non come semplice applicazione di regole. Tali problemi sono messi a disposizione dell’insegnante, che può utilizzarli e discuterli nei contesti più diversi, come testimonianza del fatto che dalla ricerca dell’esempio si impara.

Nella lista, tratta da The Mathematics Teacher, febbraio 1982, le questioni — dall’aritmetica all’analisi — non sono ordinate per difficoltà: a ciascuna, dunque, si risponde fornendo un esempio.

1. Una frazione propria maggiore di \( \frac{7}{8} \).
2. Sette numeri reali la cui media sia 14,3.
3. Otto interi consecutivi, dei quali esattamente due siano primi.
4. Quattro interi non nulli e distinti la cui somma superi il loro prodotto.
5. Quattro interi non nulli e distinti la cui somma sia un divisore del loro prodotto.
6. Quattro frazioni distinte della forma \( \frac{1}{n} \) la cui somma sia 1.
8. Una frazione compresa tra \( \frac{1}{18} \) e \( \frac{1}{19} \).
9. Un intero maggiore di 1000 con esattamente otto divisori.
10. Una potenza di 3 che termini in 7, 67, 117, 1117.
11. Un quadrato magico additivo \(3 \times 3\) i cui elementi terminino tutti con 37.
13. Venticinque interi consecutivi la cui somma sia 10 000.
14. Tre interi il cui prodotto sia 2400.
15. Due interi \(a\) e \(b\) tali che
\[
\operatorname{MCD}(a,b)=6 \quad \text{e} \quad \operatorname{mcm}(a,b)=2160.
\] 16. Una soluzione dell’equazione \( x^y = y^x \) con \( x \neq y \).
17. Una frazione la cui espansione decimale abbia periodo 4.
18. Un numero primo \(p\) tale che \(105p + 1\) sia un quadrato perfetto.
19. Un numero intero di due cifre uguale al doppio del prodotto delle sue cifre.
20. Quattro punti nella stanza che siano vertici di un parallelogramma senza angoli retti.
21. Un pentagono di perimetro 12.
22. Un rettangolo e un triangolo aventi la stessa area.
23. Un quadrilatero le cui diagonali siano perpendicolari.
24. Un quadrilatero che abbia esattamente
a) 1, b) 2, c) 3, d) 4 angoli acuti.
25. L'enunciato di un problema il cui modello sia \(2(x+3)=5x\).
26. Due trinomi, ciascuno con tre termini non nulli, il cui prodotto contenga esattamente quattro termini non nulli.
27. Un polinomio le cui radici includano \(1\) e \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \).
28. Quattro interi \(a,b,c,d\) tali che
\[
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}.
\] 29. Un numero reale positivo \(b\) tale che entrambe le soluzioni di
\[
x^2 - bx + 20b = 0
\] siano positive.
30. Un sistema lineare \(2 \times 2\) la cui soluzione sia \((1,2)\).
31. Un sistema lineare \(3 \times 3\) con infinite soluzioni.
32. Un’ora del giorno in cui le lancette di un orologio siano perpendicolari.
33. L’equazione di una circonferenza tangente a entrambi gli assi cartesiani.
34. Una funzione non identità che sia inversa di se stessa.
35. Una parabola il cui grafico passi per i punti \((1,2)\) e \((2,3)\).
36. Due funzioni diverse \(f(x)\), \(g(x)\) tali che \(f(g(x)) = g(f(x))\).
37. Due numeri \(x\) e \(y\) tali che
\[
\log(x+y) = \log x + \log y.
\] 38. Le equazioni di due parabole i cui grafici si intersechino in
a) 1, b) 2, c) 3, d) 4 punti.
39. Due vettori tridimensionali \( \vec A \), \( \vec B \) tali che
\[
\vec A \cdot \vec B = \lVert \vec A \times \vec B \rVert.
\] 40. Un intero \(n\) per cui l’integrale improprio
\[
\int_0^{+\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}\,dx
\] sia convergente.

Alcune richieste, apparentemente elementari (come esibire un esempio di pentagono di perimetro 12) e altre dichiaratamente più complesse, mostrano tuttavia una densità concettuale tale da richiedere un ritorno più attento, proprio perché rendono visibile come lo stesso atteggiamento di costruzione e interpretazione degli esempi coinvolga livelli e contenuti diversi della matematica. Su alcune dovremo necessariamente tornare.

In conclusione, dagli esempi si impara, e ciò ha radici storiche antiche irrobustite da solide ragioni psico-pedagogiche; ma insegnare a costruirli non è soltanto una scelta didattica coerente con la natura della matematica, bensì anche un metodo particolarmente fecondo per fare matematica in classe.