Quei quesiti alquanto inconsueti assegnati nelle tracce della prova scritta di matematica della maturità scientifica di qualche anno fa.
Delle domande del tipo “Date un esempio di…”, che non ammettono in genere un’unica risposta, stiamo parlando da qualche tempo come stimolo e come modo efficace di fare matematica in classe.
Abbiamo anche ricordato che quesiti costruiti in quest’ottica sono stati proposti nelle tracce della prova scritta di matematica della maturità, senza produrre, come pure ci si sarebbe potuti aspettare, osservazioni particolarmente approfondite. Possiamo dire oggi, a distanza di un sufficiente lasso di tempo, che furono giudicate con sorprendente superficialità.
Il quesito seguente fu proposto nella sessione ordinaria 2004 nei vari indirizzi di liceo scientifico, sia in Italia sia nelle scuole italiane all’estero.
\(\)Date un esempio di una funzione non costante \(g(x)\) tale che
\[
\lim_{x \to 2} g(x)=3
\quad \text{ma} \quad
g(2)=4.
\]
Il quesito obbliga a distinguere tra il comportamento della funzione in un intorno del punto e il valore assunto nel punto stesso. Non si tratta di calcolare un limite, ma di sapere che cosa significa averlo.
Come costruire l’esempio? Il punto chiave è capire che il limite riguarda ciò che accade vicino a \(2\), non ciò che accade in \(2\). Il modo più semplice per garantire
\[
\lim_{x \to 2} g(x)=3
\]
è far sì che la funzione sia uguale a \(3\) per ogni \(x\) diverso da \(2\) (o almeno in un intorno di \(2\)) e imporre che
\[
g(2)=4.
\]
Questo ci suggerisce la funzione:
\[
g(x)=
\begin{cases}
3 & \text{se } x \neq 2,\\[4pt]
4 & \text{se } x = 2.
\end{cases}
\]
Se \(x\) si avvicina a \(2\) ma resta diverso da \(2\), allora \(g(x)=3\). Dunque
\[
\lim_{x \to 2} g(x)=3.
\]
Invece nel punto \(2\) vale per definizione \(g(2)=4\).
La funzione non è costante (perché assume almeno due valori diversi) e soddisfa la richiesta. Questo esempio è molto efficace sul piano didattico perché mostra con chiarezza che la differenza tra “limite” e “valore” è alla base della distinzione tra continuità e discontinuità.
Per giungere a dare una risposta al quesito possiamo anche ragionare in modo diverso. Cerchiamo una funzione che abbia naturalmente limite \(3\) per \(x \to 2\). Ad esempio, la funzione
\[
g(x)=x+1
\]
soddisfa
\[
\lim_{x \to 2} (x+1)=3.
\]
Fin qui, però, la funzione è continua e vale \(g(2)=3\). Per ottenere la richiesta del problema basta modificare il valore nel solo punto \(2\):
\[
g(x)=
\begin{cases}
x+1 & \text{se } x \neq 2,\\[4pt]
4 & \text{se } x = 2.
\end{cases}
\]
Il limite non cambia, perché dipende dai valori in un intorno del punto, non dal valore nel punto stesso:
\[
\lim_{x \to 2} g(x)=3,
\]
ma per definizione \(g(2)=4\). La funzione ottenuta è discontinua in \(2\), e la discontinuità è rimovibile. Un'altra risposta possibile:
\[
g(x)=
\begin{cases}
3+(x-2)\sin\!\left(\frac{1}{x-2}\right) & \text{se } x\neq2,\\[6pt]
4 & \text{se } x=2.
\end{cases}
\]
Poiché
\[
(x-2)\sin\!\left(\frac{1}{x-2}\right) \to 0
\quad \text{per } x\to2,
\]
segue che
\[
\lim_{x\to2} g(x)=3.
\]
Tuttavia, per definizione \(g(2)=4\).
Anche in questo caso il limite non coincide con il valore della funzione nel punto. Domande di questo tipo hanno un valore didattico particolare. Non chiedono di applicare una procedura, ma di comprendere il significato dei concetti.
Sapere che cosa significa un limite vuol dire anche saper costruire esempi in cui il limite esiste, ma il valore della funzione nel punto è diverso. È proprio questa distinzione che sta alla base della nozione di continuità. Questo quesito fu presente, come già ricordato, nelle tracce della maturità scientifica del 2004. Fu poco apprezzato e da taluni esperti giudicato addirittura banale.
L’aspetto criticato, però, fu paradossalmente proprio quello che ne costituiva il punto di forza: il fatto che il quesito non ammettesse una risposta unica. La stessa accoglienza fu riservata anche agli altri quesiti analoghi presenti nello stesso anno. In particolare al seguente:
Date una funzione con un massimo relativo in \((1,3)\) e un minimo relativo in \((-1,2)\).
Qui una risposta può basarsi sulle considerazioni seguenti: se una funzione ha un massimo o un minimo relativo in un punto \(a\), la sua derivata si annulla in \(a\) Nel nostro caso la derivata deve quindi annullarsi nei punti \(x=-1\) e \(x=1\). Possiamo dunque porre
\[
f'(x)=k(x^2-1),
\]
dove \(k\) è una costante. Integrando si ottiene
\[
f(x)=k\left(\frac{x^3}{3}-x\right)+C.
\]
Imponendo le condizioni
\[
f(-1)=2, \qquad f(1)=3
\]
si ricava
\[
k=\frac34, \qquad C=\frac52,
\]
e quindi
\[
f(x)=\frac14 x^3-\frac34 x+\frac52.
\]
Questa funzione ha un minimo relativo in \((-1,2)\) e un massimo relativo in \((1,3)\), come richiesto dal quesito. Ma è solo un esempio tra i molti che nell'attività di classe si possono costruire con giovamento della comprensione.
Tra i tanti commenti e le tante osservazioni, si riporta questa che è alquanto curiosa:
«Nulla da eccepire sulla formulazione del quesito. Segnaliamo solo che uno studente scaltro (e molto preparato) avrebbe potuto portare un esempio come il seguente:
\[
f:\{-1,1\}\rightarrow \mathbb{R}, \qquad
f(x)=
\begin{cases}
2, & \text{se } x=-1,\\
3, & \text{se } x=1.
\end{cases}
\]
Come avrebbe dovuto valutare una simile risposta la commissione?»
Perché questa osservazione è curiosa? Perché gli autori propongono un esempio costruito con bravura, scegliendo anche un dominio particolare. Un esempio, cioè, che, “solo uno studente scaltro (e molto preparato) avrebbe potuto portare”. E tuttavia subito dopo si pongono il problema degli “altri”, i colleghi: quasi temendo che la commissione non sia in grado di valutare.
Tutto ciò fornisce ulteriori elementi di conoscenza sull’ambiente dei docenti e sulla didattica della matematica e mostra, di conseguenza, quanto sia stato difficile introdurre elementi di novità nelle prove scritte di matematica della maturità. Aiuta anche a comprendere perché tali novità, tutt’altro che banali, siano state talvolta accolte con superficialità e noncuranza.
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