Conoscere le funzioni. Attività in classe: datemi un esempio di funzione inversa di sé stessa, diversa dall’identità.
Abbiamo già visto come un semplice quesito (ad esempio in Datemi due funzioni che commutano) possa condurre, attraverso tentativi, fallimenti e costruzioni consapevoli, ad indagare in più direzioni, alla scoperta di un mondo di possibilità.
La lista proposta nell’articolo Dagli esempi s’impara contiene però molte altre questioni che possono rivelarsi preziosi esercizi di riscaldamento anche in vista della prova scritta di matematica della maturità di giugno.
Di quella lista affrontiamo ora la seguente: «Datemi una funzione non identità che sia inversa di sé stessa»
Dire che una funzione è inversa di sé stessa significa chiedere che
\[
f(f(x)) = x
\]
per ogni \(x\) del suo dominio.
Non si tratta dunque di trovare due funzioni che commutano, come nell'articolo citato, ma di individuare una funzione che, composta con sé stessa, restituisca l’identità.
Un primo esempio elementare è
\[
f(x)=\frac{1}{x},
\]
definita per \(x \neq 0\).
Infatti
\[
f(f(x)) = f\!\left(\frac{1}{x}\right)
= \frac{1}{\frac{1}{x}}
= x.
\]
La funzione non è l’identità, ma la sua doppia applicazione riporta al punto di partenza. L’esempio è corretto, ma non esaurisce la questione. Possiamo chiederci: quali funzioni hanno questa proprietà? La condizione
\[
f(f(x)) = x
\]
può essere riscritta in forma più compatta come
\[
f \circ f = \mathrm{id}.
\]
Stiamo cercando dunque funzioni che, composte con sé stesse, restituiscano l’identità. In algebra queste trasformazioni sono dette involuzioni, ma il nome conta meno della proprietà.
L’esempio \( f(x)=\frac{1}{x} \) è solo il più immediato. Ve ne sono altri, altrettanto semplici. Ad esempio,
\[
f(x) = a - x,
\]
dove \(a\) è un numero reale fissato. Infatti
\[
f(f(x)) = f(a-x)
= a - (a-x)
= x.
\]
Anche in questo caso la funzione non coincide con l’identità, ma la sua doppia applicazione annulla l’effetto della prima. Geometricamente si tratta di una simmetria rispetto al punto \( \frac{a}{2} \).
Possiamo allora osservare che le funzioni che sono inverse di sé stesse sono spesso trasformazioni “di simmetria”: applicarle una seconda volta riporta alla configurazione iniziale.
Gli esempi precedenti non esauriscono la questione. Un primo ampliamento naturale del caso \( \frac{1}{x} \) è
\[
f(x)=\frac{a}{x}, \qquad a \neq 0,
\]
definita per \(x \neq 0\). Infatti
\[
f(f(x)) = f\!\left(\frac{a}{x}\right)
= \frac{a}{\frac{a}{x}}
= x.
\]
Anche in questo caso la funzione non coincide con l’identità, ma la doppia applicazione annulla l’effetto della prima. Un altro esempio particolarmente significativo è
\[
f(x) = -x,
\]
simmetria rispetto all’origine, che soddisfa
\[
f(f(x)) = -(-x) = x.
\]
In generale, tutte le funzioni della forma
\[
f(x)=a-x
\]
sono simmetrie rispetto al punto \( \frac{a}{2} \) e costituiscono involuzioni. Possiamo spingerci un poco oltre con un esempio meno immediato ma elegante:
\[
f(x)=\frac{1-x}{1+x},
\]
definita per \(x \neq -1\).Una verifica diretta mostra che
\[
f(f(x))=x.
\]
Questi esempi suggeriscono un fatto strutturale semplice ma importante: le funzioni che sono inverse di sé stesse agiscono spesso come simmetrie. Applicarle una seconda volta riporta alla configurazione iniziale.
Un modo per ottenere una funzione inversa di sé stessa è pensare a uno scambio: si prende un certo insieme di punti e lo si manda in un altro, e viceversa; il resto rimane fisso.
Ad esempio, definiamo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) così:
\[
f(x)=
\begin{cases}
x+2 & \text{se } -2 \le x < 0,\\[4pt]
x-2 & \text{se } 0 \le x < 2,\\[4pt]
x & \text{altrimenti.}
\end{cases}
\]
Questa funzione scambia l’intervallo \([-2,0)\) con \([0,2)\) e lascia invariati tutti gli altri punti. Infatti:
- se \(-2 \le x < 0\), allora \(f(x)=x+2 \in [0,2)\) e quindi
\[
f(f(x)) = f(x+2) = (x+2)-2 = x;
\] - se \(0 \le x < 2\), allora \(f(x)=x-2 \in [-2,0)\) e quindi
\[
f(f(x)) = f(x-2) = (x-2)+2 = x;
\] - se \(x\) è fuori da questi intervalli, \(f(x)=x\) e dunque \(f(f(x))=x\).
In questo esempio l’idea è quasi “combinatoria”: l’involuzione è fatta di punti fissi e di coppie che si scambiano. Ed è precisamente questo che significa, in forma concreta, chiedere \(f(f(x))=x\).
Un altro esempio si ottiene lavorando sugli interi. Definiamo \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) così:
\[
f(x)=
\begin{cases}
x+1 & \text{se } x \text{ è pari},\\[4pt]
x-1 & \text{se } x \text{ è dispari}.
\end{cases}
\]
La funzione scambia ogni numero pari con il dispari immediatamente successivo e viceversa:
- se \(x\) è pari, allora \(f(x)=x+1\), che è dispari, e quindi
\[
f(f(x)) = f(x+1) = (x+1)-1 = x;
\] - se \(x\) è dispari, allora \(f(x)=x-1\), che è pari, e quindi
\[
f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)+1 = x.
\]
Dunque in ogni caso \(f(f(x))=x\). La funzione non è l’identità, ma è inversa di sé stessa. Questo esempio rende evidente la struttura delle involuzioni: esse sono fatte di punti fissi e di coppie che si scambiano.
Due ulteriori esempi possono contribuire a dare maggiore chiarezza concettuale alla questione trattata.
Il primo consiste nel pensare al logaritmo o all’esponenziale. Infatti
\[
\log(e^x)=x
\quad \text{e} \quad
e^{\log x}=x
\]
(dove definite).
Tuttavia qui stiamo componendo due funzioni diverse. Nessuna delle due, da sola, è inversa di sé stessa. Ad esempio, per \(f(x)=\log x\) si avrebbe
\[
f(f(x))=\log(\log x),
\]
che non coincide con \(x\). Essere inversa di un’altra funzione non significa essere inversa di sé stessa.
Il secondo esempio che potremmo essere tentati di proporre non è corretto.
È di natura aritmetica. È la funzione \(d\) che associa a un numero naturale la somma dei suoi divisori propri. Ne abbiamo parlato nell'articolo In classe con la ricorsività.
Sì, è
\[
d(d(n)) = n,
\]
ma solo per quelle poche coppie di numeri amici, come 220 e 284, non per tutte le coppie, come dovrebbe essere.
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