Asintoti orizzontali: uno, due… ma non di più

Fare matematica lavorando con quesiti del tipo “Dare un esempio di…”. Un’attività sugli asintoti orizzontali di una funzione.

Nell'articolo Dagli esempi s'impara abbiamo presentato una serie di proposte particolarmente adatte a una didattica volta a potenziare la comprensione dei concetti e delle procedure studiate. In interventi successivi abbiamo anche esaminato più da vicino alcuni di questi quesiti, presenti nelle tracce della maturità o riguardanti le proprietà delle funzioni, come la commutatività nella composizione oppure l’esistenza di funzioni inverse di sé stesse.

L'attività che si propone ora riguarda gli asintoti, argomento essenziale nello studio di una funzione.

Un asintoto è generalmente introdotto come una retta alla quale il grafico di una funzione si avvicina sempre più. In modo più preciso, si ha quando la distanza tra il grafico e la retta tende a zero: è questa condizione che viene formalizzata attraverso il linguaggio dei limiti.

Per gli studenti gli asintoti obliqui sono i più antipatici mentre i verticali sono quelli che si apprendono con maggiore immediatezza. Questi compaiono quando, avvicinandosi a un certo valore della variabile, la funzione cresce senza limite:

\[
\lim_{x \to a} f(x)=\pm\infty.
\]

In questo caso la retta

\[
x=a
\]

è un asintoto verticale del grafico. Ad esempio, la funzione

\[
f(x)=\frac{1}{x^2-1}
\]

ha il denominatore che si annulla per

\[
x=1 \qquad \text{e} \qquad x=-1.
\]

Avvicinandosi a questi valori il denominatore tende a zero e la funzione diverge. Le rette

\[
x=1 \qquad \text{e} \qquad x=-1
\]

sono dunque due asintoti verticali. In generale, una funzione razionale può avere asintoti verticali nei punti in cui il denominatore si annulla, purché il limite della funzione sia infinito e tali zeri non vengano semplificati con il numeratore.

Per gli asintoti orizzontali la situazione è diversa. Il seguente è uno di quei quesiti che può contribuire a fare chiarezza.

Dare un esempio di funzione razionale il cui grafico abbia due asintoti orizzontali.

Un quesito non banale: come arrivare a costruire un esempio? In realtà gli asintoti orizzontali dipendono dai limiti della funzione per

\[
x\to +\infty
\qquad \text{e} \qquad
x\to -\infty.
\]

Poiché questi sono i due modi in cui la variabile può “andare all’infinito”, diciamo subito che una funzione può avere al massimo due asintoti orizzontali: uno a destra e uno a sinistra.

Per poter dare risposta al quesito conviene cominciare col ricordare che cos’è una funzione razionale.

Una funzione si dice razionale quando può essere espressa come rapporto tra due polinomi, cioè nella forma

\[
f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},
\]

dove \(P(x)\) e \(Q(x)\) sono polinomi e \(Q(x)\) non è il polinomio nullo.

Le funzioni razionali si distinguono in:

• razionali intere, che coincidono con i polinomi (quando \(Q(x)=1\));
• razionali fratte, quando la variabile compare al denominatore.

Una caratteristica importante è che il loro comportamento per \(x \to \pm\infty\) è determinato esclusivamente dai termini di grado massimo del numeratore e del denominatore. Poiché il rapporto tra tali termini è unico, anche il limite, quando esiste finito, è lo stesso nelle due direzioni.

Più precisamente:

• se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore, il limite vale \(0\);
• se i gradi coincidono, il limite è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo;
• se il grado del numeratore è maggiore, il limite non è finito e quindi non esiste asintoto orizzontale.

In tutti i casi in cui il limite è finito, esso è identico sia per \(x \to +\infty\) sia per \(x \to -\infty\). Ne segue che non esiste una funzione razionale con due asintoti orizzontali distinti. La risposta è dunque negativa.

Allora, generalizzando, quali funzioni possono avere due asintoti orizzontali?

Perché ciò accada, è necessario che la funzione abbia comportamenti diversi per \(x \to +\infty\) e per \(x \to -\infty\). Questo avviene quando intervengono espressioni che distinguono il segno della variabile.

È il caso, ad esempio, delle funzioni che contengono:

• il valore assoluto, come \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{|x|+1}\);
• radici di espressioni quadratiche, come \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\);
• funzioni trascendenti, come \(\arctan x\), che ha asintoti \(y=\frac{\pi}{2}\) e \(y=-\frac{\pi}{2}\).

Consideriamo la funzione

\[
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
\]

e studiamone il comportamento all'infinito.

Limite per \(x \to +\infty\)

\[
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
=\frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.
\]

Per \(x \to +\infty\) si ha \(|x|=x\), dunque

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.
\]

Quindi

\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)=1.
\]

La retta

\[
y=1
\]

è un asintoto orizzontale a destra.

Limite per \(x \to -\infty\)

Per \(x \to -\infty\) si ha \(|x|=-x\), dunque

\[
f(x)=\frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.
\]

Quindi

\[
\lim_{x\to -\infty} f(x)=-1.
\]

La retta

\[
y=-1
\]

è un asintoto orizzontale a sinistra.

Dunque la funzione ha due asintoti orizzontali distinti:

\[
y=1 \qquad (x\to +\infty)
\]

\[
y=-1 \qquad (x\to -\infty).
\]

Consideriamo ora la funzione:

\[
f(x)=\frac{x}{|x|+1}.
\]

Se \(x>0\) vale \(|x|=x\), quindi

\[
f(x)=\frac{x}{x+1}
\]

e

\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=1.
\]

Se \(x<0\) vale invece \(|x|=-x\), quindi

\[
f(x)=\frac{x}{1-x}
\]

e

\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.
\]

La funzione ha dunque due asintoti orizzontali distinti:

\[
y=1 \quad (x\to+\infty),
\qquad
y=-1 \quad (x\to-\infty).
\]

Passiamo ora alla funzione:

\[
f(x)=\arctan x
\]

per cui

\[
\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},
\qquad
\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}.
\]

Gli asintoti sono quindi

\[
y=\frac{\pi}{2}
\qquad
y=-\frac{\pi}{2}.
\]

Gli esempi precedenti non sono comunque casi isolati. È possibile infatti costruire funzioni con due asintoti orizzontali prefissati.

Siano \(a\) e \(b\) due numeri reali. Consideriamo la funzione

\[
f(x)=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
\]

Poiché

\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1,
\qquad
\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1,
\]

si ottiene

\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=b,
\qquad
\lim_{x\to-\infty}f(x)=a.
\]

La funzione ha dunque due asintoti orizzontali:

\[
y=a \quad (x\to-\infty), \qquad y=b \quad (x\to+\infty).
\]

Questo mostra che esistono intere famiglie di funzioni con due asintoti orizzontali.

Il punto essenziale è che un asintoto orizzontale è definito attraverso l’esistenza di un limite finito della funzione per \(x \to +\infty\) oppure per \(x \to -\infty\).

Poiché questi sono gli unici due modi in cui una variabile reale può tendere all’infinito, i limiti che possono determinare asintoti orizzontali sono al più due: uno a destra e uno a sinistra.

Da qui segue che una funzione può ammettere:

• due asintoti orizzontali distinti, se i due limiti esistono e sono diversi;
• un solo asintoto, se i limiti coincidono;
• nessun asintoto, se almeno uno dei due limiti non esiste o non è finito.

In questo si riconosce una delle idee centrali della didattica della matematica ben evidenziata da George Pólya: comprendere un concetto significa saper produrre esempi significativi.

La richiesta “Dare un esempio di...” diventa così uno strumento che obbliga a distinguere ciò che è essenziale da ciò che è accessorio e rende visibile il livello reale di comprensione dello studente, perché lo conduce a cogliere insieme i limiti e le possibilità del concetto.

Altri quesiti analoghi sugli asintoti proposti nelle tracce di maturità

• Si dia una definizione di “asintoto” – orizzontale, obliquo, verticale – di una curva e si fornisca un esempio di funzione \(f(x)\) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. (2007 - America Latina)
• Si diano esempi di funzioni i cui grafici presentino due asintoti verticali e un asintoto orizzontale. (2008 - New York)
• Si diano esempi di funzioni i cui grafici presentano un asintoto verticale e un asintoto orizzontale. (2008 - America Latina)
• Si scrivano le equazioni di almeno due funzioni razionali fratte che hanno un asintoto obliquo. (2009 - Estero)
• Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione \(f(x)\) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. (2012 - Estero)

Concludendo: richiedere di dare un esempio di una funzione con due asintoti orizzontali distinti è un buon test di consapevolezza concettuale. Se il quesito specifica "funzione razionale", lo studente deve saper rispondere che tale oggetto matematico non esiste, poiché il limite all'infinito di un rapporto tra polinomi, se convergente, è univocamente determinato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo.

In definitiva, educare alla costruzione di esempi significa passare dalla matematica dell’esecuzione a quella della progettazione. Saper distinguere tra ciò che è possibile entro i confini di una famiglia di funzioni e ciò che richiede di esplorare nuovi ambiti (irrazionali o trascendenti) è il segno distintivo di una maturità scientifica pienamente raggiunta.