La definizione di poliedro e la formula di Eulero

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La definizione di poliedro e la formula di Eulero

La definizione di “poliedri”e la formula di Eulero (da  L’ARTE DEI NUMERI – Matematica e matematici oggi-  di Jean Dieudonné – Arnoldo Mondadori Ed


La definizione di “poliedri”e la formula di Eulero
(da  L’ARTE DEI NUMERI – Matematica e matematici oggi  di Jean Dieudonné – Arnoldo Mondadori Editore, 1989).

[…] Negli Elementi Euclide definisce solo i prismi, le piramidi e i poliedri regolari. Nel 1750 Eulero parla di ‘poliedri’  senza definirli, e afferma che se s, a ed f sono rispettivamente i numeri dei vertici, degli spigoli e delle facce di un poliedro P, il numero

è sempre uguale a 2.

La dimostrazione che dà Eulero ( d’altronde insufficiente) induce a credere che si sia limitato ai poliedri convessi, cioè che sono situati da una sola parte del piano di ciascuna delle loro facce. Nel corso del XIX secolo, non solo il teorema di Eulero per i poliedri convessi viene dimostrato correttamente, ma una dozzina di matematici si posero il problema di calcolare il numero  per ogni poliedro.

Il guaio è che, per quanto ne so, nessuno di loro fu in grado di dare una definizione generale di ciò che bisognava intendere con ‘poliedro’;

tale definizione viene solo con Poincaré nel 1895.[1]

In precedenza ognuno dei matematici citati credeva di avere dato la definizione giusta,  conforme alla sua ‘intuizione’ personale di ciò che doveva essere un poliedro; poco tempo dopo un altro matematico esibiva ‘figure’ che, secondo lui, erano anch’esse ‘poliedri’ ma non soddisfacevano le condizioni fissate dal suo predecessore; e naturalmente i valori di  dipendevano dalla ‘definizione’ scelta, a tal punto che sembrava che non si sarebbe mai potuti arrivare a una espressione generale di  che fosse ‘rigorosa’!

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[1]La definizione è semplice, ma bisogna pensarci. In  un segmento aperto è un segmento privato degli estremi, un poligono aperto, un poligono limitato convesso giacente in un piano di privato del contorno. Un poliedro è allora l’unione di un numero finito di sottoinsiemi di  i cui elementi sono punti, segmenti aperti e poligoni aperti, a due a due disgiunti e soddisfacente la seguente condizione: gli estremi di un segmento aperto che appartiene a F appartengono a F e i vertici e i lati ( questi ultimi considerati come segmenti aperti) di un poligono aperto che appartiene a F appartengono a F. Alexander ha dimostrato nel 1915 che per ogni poliedro P, è invariante per omeomorfismi.

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