Equipotenza tra Q ed N.

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Equipotenza tra Q ed N.

Equipotenza tra Q ed N.  (Da L’Arte dei numeri Matematica e matematici oggi di Jean Dieudonné- Arnoldo Mondadori Editore - Milano, 1989) I contrib


Equipotenza tra Q ed N.

 (Da L’Arte dei numeri Matematica e matematici oggi di Jean DieudonnéArnoldo Mondadori Editore – Milano, 1989)

I contributi di Cantor alla teoria degli insiemi sono ancora più originali di quelli di Dedekind. Prima dei suoi lavori, si distinguevano soltanto due tipi di insiemi : quelli finiti e quelli infiniti. Fu Cantor a dimostrare per primo, tra la sorpresa generale, che esistono vari tipi di insiemi infiniti, non riconducibili gli uni agli altri.
Abbiamo detto(…) in che modo Cantor era stato indotto a introdurre per gli insiemi il concetto di equipotenza : in particolare egli distingueva innanzitutto tra gli insiemi infiniti, quelli numerabili, cioè, per definizione, quelli equipotenti all’insieme  dei naturali. La loro importanza deriva dalla funzione che hanno in analisi le successioni di elementi distinti di un insieme ( se  è una successione, si può considerare l’applicazione  come una biezione tra  e l’insieme degli elementi della successione). Cantor aveva visto molto presto che l’insieme delle coppie (m,n) di naturali è numerabile ; si “visualizza” facilmente il suo procedimento “contando” le coppie secondo le “diagonali” parallele alla bisettrice del secondo quadrante( fig. 1).

 E’ più comodo in questo caso considerare invece dell’insieme , l’insieme in tal caso l’elenco di Cantor dà la successione

(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2),
(3,0), (2,1), (1,2), (0,3),…

Una conseguenza immediata, anche se già un po’ sorprendente, è che l’insieme  delle frazioni irriducibili p/q è numerabile : infatti basta elencare  le coppie (p, q) seguendo il procedimento di Cantor, e mantenendo soltanto quelle in cui p e q non sono nulli e non hanno fattori comuni diversi dall’unità.

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