La matematica nel gioco del calcio illustrata dai matematici Paolo Alessandrini e Guido Trombetti. Primo e secondo tempo in campo con il fascino del connubio di arte e scienza.
Primo tempo
Alfredo Di Stefano
Il calciatore argentino Alfredo Di Stéfano era giudicato il più grande di tutti i tempi (con buona pace del leggendario Diego Armando Maradona e di Leo Messi) dal brasiliano Edson Arantes do Nascimento, meglio noto come Pelé. Secondo Di Stéfano il gioco del calcio sarebbe da considerare contro natura, perché giocato coi piedi e non con le mani (se si eccettua, aggiungiamo noi, la mitica Mano de Dios). Eppure, con tutto il rispetto per l’opinione di Di Stéfano, il gioco del calcio non può essere ritenuto contro natura, perché al pari della natura è sostanziato di matematica, fin da quando un ragazzo spinto dall’istinto comincia a esercitarsi nel palleggio.
Sull’argomento esiste una bibliografia che merita particolare attenzione. Ad esempio, Paolo Alessandrini ci trasporta nel mondo del calcio matematico con Matematica in campo, Hoepli, 2023, collocandosi con indubbio prestigio fra gli autori che hanno trattato analogo argomento. Il sottotitolo del suo volume è “Numeri e geometrie nel gioco del calcio”. Nel risvolto di copertina l’autore è presentato come “docente, blogger e divulgatore e formatore nell’ambito della matematica”, già cimentatosi nel campo con Matematica rock e Bestiario matematico.
Nell’introduzione (pagine VII-X) l’autore inserisce un’anticipazione del “dualismo” destinato ad emergere in corso d’opera:
“In fin dei conti, il pallone da una parte accende emozioni viscerali e sentimenti ancestrali, dall’altra muove interessi economici spaventosamente grandi che vengono gestiti con un approccio razionale. Qual è, dunque, il suo vero motore, la sua anima profonda? Il calcio è una scienza o un’arte? Un freddo calcolo o una storia d’amore?”
Seguono i ringraziamenti (pagine XI-XII) ad esperti consultati sia nel campo matematico che in quello sportivo. Poi comincia la trattazione:
“I suoi nove capitoli compongono un’immaginaria partita che si snoda attraverso i suoi momenti salienti: pre-partita, primo tempo, intervallo, secondo tempo, tempi supplementari, tiri di rigore, post-partita.”
Ogni capitolo parte da vicende calcistiche realmente accadute, che fanno parte della storia del calcio e possono talvolta sconfinare nella leggenda. Qui sorvoleremo su queste vicende e ci limiteremo a evidenziare i rimandi matematici presenti nel testo, mentre il lettore interessato potrà verificarne gli usi contestuali mediante la lettura dell’opera di straordinario interesse qui presentata.
Nel primo capitolo, intitolato “La matematica dei tornei” (pagine 2-25), sono esposte in dettaglio le implicazioni matematiche dei diversi tipi di torneo a livello di squadre nazionali o anche non nazionali. A proposito degli alberi dei tabelloni vengono citati i numeri di Wedderburn-Etherington e l’algoritmo di Berger.
Nel secondo capitolo, intitolato “La palla è rotonda?” (pagine 28-49), viene affrontato il problema della conformazione del “pallone perfetto” a partire dai tentativi storici di realizzarlo e viene citato un teorema del matematico russo Aleksei Pogorelov che dimostra la possibilità di far combaciare perfettamente due sagome diverse per forma, ma dai contorni di eguale lunghezza ed entrambe convesse. Per andare verso la forma sferica del pallone, si passa attraverso i poliedri. Viene ricordato il teorema di Gauss-Wantzel sui poligoni regolari. Interessanti i rimandi ai cinque solidi platonici del Timeo e all’ampliamento introdotto da Archimede con i suoi tredici solidi.
Lungo questa strada col passare del tempo si giunse allo “icosaedro troncato” di Eigil Nielsen (1962) come primo “pallone moderno”. Successivamente un altro tipo di pallone fu realizzato come “un altro solido archimedeo: precisamente un ottaedro troncato, con 14 facce”. A proposito del rapporto tra facce, vertici e spigoli di un poliedro viene ricordata la formula di Eulero. Le ricerche sulla forma del pallone non finirono qui. Alla falsa sfera del pallone “Jabulani” subentrò il “pallone cubico”, detto “Brazuca” grazie al teorema di Pogorelov, e poi ancora “Al Rihla”. La trattazione dell’argomento si conclude col ricordare una molecola di carbonio, osservata da un team di chimici in laboratorio, la quale con i suoi atomi formava un “icosaedro troncato” come il pallone concepito da Eigil Nielsen.
Il terzo capitolo, intitolato “Goal fantasma e fuorigioco euclidei” (pagine 50-67), è dedicato agli errori degli arbitri, alla Goal Line Technology, al fuorigioco, alle illusioni ottiche, al VAR. Riguardo al fuori gioco non poteva non essere ricordato il quinto postulato di Euclide, la cui validità cominciò ad essere messa in dubbio da Girolamo Saccheri e fu negata da Lobacevskij, Bolyai, Riemann con la costruzione delle geometrie non euclidee, nell’ambito delle quali sarebbe però impossibile mantenere e applicare la regola del fuorigioco. Seguono informazioni sullo sviluppo delle nuove tecnologie.
Il quarto capitolo, intitolato “Il calcio è una scommessa” (pagine 70-86) è dedicato al calcolo delle probabilità con riguardo alla distribuzione di Poisson per la previsione del numero di reti e ai calcoli del calcio scommesse.
Nel quinto capitolo, intitolato “Partite al microscopio” (pagine 88-106), viene considerato criticamente il contributo di Charles Reep, appassionato di numeri e di calcio, all’analisi delle gare calcistiche mediante metodi statistici, e viene ricordato il calciatore di formazione ingegneristica Valerij Lobanovs’kyi, che in collaborazione con lo statistico Anatolij Zelentsov progettò in ambiente informale una serie di algoritmi con i quali ottimizzare le prestazioni dei calciatori. Da allora nel mondo del calcio l’analisi di ingenti quantità di dati computerizzati sulle partite di calcio giocate e da giocare è diventata prassi comune.
Nel sesto capitolo, intitolato “Squadre intelligenti” (pagine 107-130), si ricorda come l’ingegnere Herbert Chapman, definito creatore del calcio moderno, passò dal modulo a Piramide (2-3-5) al Sistema (3-2-2-3). Segue una rassegna dei tanti altri moduli escogitati nel tempo. Per quanto riguarda le posizioni dei giocatori in campo, si ricorre alla media aritmetica di ascisse e ordinate allo scopo di ottenere un diagramma con le posizioni medie di ciascun giocatore.
Dati più completi possono ottenersi con gli algoritmi ricavati da Takuma Narizuka e Yoshihiro Yamakazy con le cosiddette mappe di calore. A Tsuyoshi Taki e Junichi Hasegawa si deve l’introduzione nel mondo del calcio delle tassellazioni di Voronoi. Lo studio delle triangolazioni ottimali è detto “di Delaunay”. Ovviamente si studiano anche reti o grafi e nodi. La frequenza dei passaggi è stata oggetto delle ricerche del sociologo tedesco Thoma Grund, che ha studiato anche l’indice di centralità. Dell’indice di coesione si sono occupati i matematici Javier López Peña e Hugo Touchette.
Icosaedro e pallone
Il settimo capitolo, intitolato “Mo je faccio er cucchiaio” (pagine 132- 151), si inaugura con l’esempio di un tiro che riconduce al “moto parabolico di un oggetto puntiforme” e alla legge della fisica nota come equazione di Bernoulli. Seguono dettagli sul “cucchiaio” e sul “tiro a giro”. Il fisico inglese Ken Bray ha studiato le posizioni ideali del portiere di fronte a tiri di questo genere.
L’ottavo capitolo, intitolato “Nino, non aver paura” (pagine 154-170), contiene esempi di applicazione al mondo del calcio della teoria dei giochi di John von Neumann, del concetto di equilibrio di John Nash, del “dilemma del prigioniero”. Viene ricordato lo studio dei calci di rigore operato dall’economista Ignacio Palacios-Huerta.
Nel nono ed ultimo capitolo, intitolato “Vittoria ai punti” (172-189), si esamina fra l’altro il sistema di assegnazione dei punti: si sa che si è passati dal 2-1-0 al 3-1-0, tre punti per la vittoria invece di due. I ricercatori norvegesi Kjetil K. Haugen e Knut P.Heen sostengono che questa nuova norma “può “favorire le collusioni tra squadre”.
Nella conclusione (pagine 190-195) l’autore mette a confronto le tesi di chi sostiene che il gioco del calcio non ha niente di scientifico e chi invece vede fra gioco del calcio e matematica una stretta affinità.
Nelle cinque appendici (pagine 197-206) sono approfonditi i seguenti argomenti: numero massimo (cinque) dei solidi regolari; triangolazione; distribuzione di Poisson; tassellazioni di Voronoi e triangolazioni di Delaunay; il punto ottimale da cui tirare.
Seguono riferimenti bibliografici, indicazioni sitografiche e dichiarazione di crediti delle numerose immagini utilizzate.
L’opera di Paolo Alessandrini merita di essere letta e consigliata non solo per i riferimenti matematici fin qui evidenziati, ma anche per la narrazione coinvolgente, ricca di esempi tratti dalla storia del calcio per la soddisfazione degli appassionati di questo sport.
Secondo tempo
Mágico González
Ritorniamo a una domanda che continua a riproporsi circa il gioco del calcio: si tratta di un’arte o di una scienza? La risposta è che non siamo di fronte a una dicotomia. Per dimostrarlo, possiamo considerare, fra l’altro, il complesso sistema del cervello del calciatore in azione, tenendone presente anche la dimensione inconscia nel solco della componente matematica studiata dalla psicoanalisi lacaniana. Ipotizziamo quindi la presenza di un inconscio matematico soggiacente alle mosse del calciatore. Nella relazione congressuale Funzione e campo della parola e del linguaggio in psicoanalisi (1953) Jacques Lacan dichiara infatti con una chiarezza non sempre presente nella sua prosa che “l’inconscio partecipa della funzione dell’idea, anzi del pensiero”. Per quanto riguarda il pensiero matematico, Lacan non lo riduce affatto alla misura, ma lo riconduce al tempo intersoggettivo:
“Ma la matematica può simbolizzare un altro tempo, segnatamente il tempo intersoggettivo che struttura l’azione, del quale la teoria dei giochi, detta anche strategia, e che sarebbe meglio chiamare stocastica, comincia a darci le formule […] Dall’esempio si comprende come la formalizzazione matematica che ha ispirato la logica di Boole, o la teoria degli insiemi, possa conferire alla scienza dell’azione umana quella struttura del tempo intersoggettivo di cui la congettura psicoanalitica ha bisogno per garantirsi nel suo rigore.”
Non a caso Lacan ha inserito nel suo studio del pensiero concetti propri della topologia, branca della matematica dedicata allo studio delle proprietà delle figure geometriche che restano inalterate nonostante siano sottoposte a continue deformazioni, dedicando particolare attenzione al nodo borromeo in connessione con le geometrie proiettiva e differenziale nonché con la fisica, la biologia, la psicologia. È evidente che la ricerca di geometrie è fondamentale nel gioco del calcio al pari delle altre discipline scientifiche.
Inoltre, occorre ribadire l’importanza della statistica e dell’analisi dei dati nell’analisi scientifica delle prestazioni calcistiche. Un campo d’indagine è quello degli expected goals (xG): si tratta di stabilire se in rapporto a diversi fattori, fra i quali posizione del calciatore al momento del tiro, possibile angolazione della traiettoria, distanza dalla porta, posizione del portiere e degli avversari, una squadra abbia concretizzato le occasioni ritenute favorevoli. La traiettoria della palla, la forza di un tiro, la resistenza dell’aria sono tutti fenomeni fisici che possono essere descritti con equazioni matematiche. Particolarmente importante è l’analisi dei movimenti in rapporto allo spazio effettuata mediante la geometria.
Alla luce di quanto fin qui sintetizzato si può riconoscere in questo gioco una nuova componente: quella del sogno. È così che nel gioco del calcio arte e scienza si fondano e si fondono reciprocamente. Una componente creativa inconscia varca le soglie della coscienza con le invenzioni delle stesse traiettorie che sono oggetto di studio scientifico. Proprio nei momenti in cui ci appaiono più lucidi, i calciatori in azione sono sognatori.
E l’Intelligenza Artificiale? Possiamo aspettarci che si pronunci sulla tematica di questo articolo? Cosa risponderebbe se le chiedessimo come riportare il Napoli ai fasti del terzo scudetto?
Ecco l’estratto di una risposta opportunamente ritoccata:
“Sono pronta a intervenire nella discussione. L’approccio matematico al calcio, come ben evidenziato da Matematica in campo di Paolo Alessandrini, può offrire strumenti preziosi per ottimizzare il gioco di una squadra. Nel caso specifico del Napoli un allenatore della statura di Conte, risoluto a ottimizzare le risorse proprie di chi allena una squadra di calcio, non può fare a meno di creare modelli matematici che siano in grado di: prevedere l’esito di diverse azioni di gioco, come la probabilità di successo di un passaggio, di un tiro o di un dribbling; individuare le aree in cui è possibile migliorare, ad esempio l’efficacia nel possesso palla e la capacità di finalizzare le azioni in aggiunta alla solidità difensiva; ottimizzare la gestione delle rotazioni, evitando l’affaticamento dei giocatori e mantenendo alta la motivazione della squadra; monitorare il carico di lavoro dei giocatori, per prevenire infortuni e ottimizzare la preparazione atletica.”
Quando abbiamo chiesto come migliorare la fase di attacco, ci siamo trovati di fronte a una défaillance:
“Per migliorare le azioni offensive, bisogna sfruttare le caratteristiche dei singoli giocatori, come la velocità di Kvaratskhelia o la potenza di Osimhen.”
Pur avendo nominato Conte quale allenatore per la stagione calcistica di Serie A 2024-2025, l’Intelligenza Artificiale non si era accorta che a Osimhen come centravanti del Napoli è subentrato Lukaku. Glielo abbiamo fatto notare e si è corretta, focalizzando il discorso sul rendimento di due giocatori in fase di attacco verso la fine del girone di andata:
“Kvaratskhelia: il georgiano sembra aver perso un po’ di smalto. Le sue giocate sono meno incisive e la sua capacità di saltare l’uomo e creare superiorità numerica è diminuita. Potrebbero esserci diverse ragioni: stanchezza fisica, maggiore attenzione da parte delle difese avversarie o semplicemente un momento di forma negativo.
Lukaku: il belga, arrivato con grandi aspettative, non è ancora riuscito a integrarsi completamente nel gioco della squadra. La sua fisicità e la sua esperienza sono indiscutibili, ma sembrano mancare ancora la giusta intesa con i compagni e la capacità di adattarsi al gioco di Conte.”
Nell’avviarci alla fine del secondo tempo di questo articolo sulla matematica e il gioco del calcio, non possiamo non ricordare una personalità che onora l’una e l’altro: Guido Trombetti, rettore emerito dell’Università degli Studi di Napoli Federico II, matematico e convinto sostenitore della squadra di calcio del Napoli. Non di rado l’insigne studioso commenta le prestazioni della squadra da lui e da noi preferita. Fra i suoi interventi ricordiamo un’intervista rilasciata a Radio Goal, trasmessa in diretta dalla radio Kiss Kiss Napoli, sulla nostra squadra allenata da Antonio Conte. A proposito del centravanti Romelu Lukaku, voluto fortemente dall’allenatore, ma contestato da alcuni sedicenti tifosi, si è espresso così:
“Lukaku è fondamentale per il Napoli, ha fatto un goal da grandissimo centravanti. Se arriva a 15 goal in stagione ma cosa vogliono quelli che lo criticano?”
Guido Trombetti, nel riferirsi a Udinese-Napoli 1-3, incontro della sedicesima giornata del Campionato di calcio Serie A (2024-2025), nel corso del quale al cinquantesimo minuto Lukaku ha segnato il goal che ha dato avvio alla rimonta degli azzurri, evidenzia inoltre:
“Questa squadra ha un centrocampo qualitativo e l’attacco ha bisogno di qualità, perciò deve giocare Kvaratskhelia“.
Quantità e qualità: un matematico illustre riconduce così il fascino del gioco del calcio al connubio di scienza e arte.
Un connubio che può diventare vera e propria magia (non a caso nella storia della loro disciplina i matematici furono considerati a lungo veri e propri maghi). Un calciatore come il salvadoregno Jorge Alberto González Barillas era soprannominato El Mágico. E che quest’atleta stranamente poco ricordato fosse una sorta di mago lo attesta Diego Armando Maradona, dal quale era considerato il più grande artista della pelota. In effetti, i filmati d’epoca visibili su Youtube mostrano González artefice di traiettorie che celebrano le nozze della geometria e del movimento, quasi fossero come le nozze di Mercurio e della filologia cantate da Marziano Capella. Ovviamente molteplici sono i fattori che influiscono in negativo o in positivo sulle prestazioni dei calciatori: provate però a toglierne la componente matematica e il gioco del calcio ne resterà annichilito.
Sulla superficie del terreno di gioco:
https://www.aia-figc.it/download/regolamenti/reg_2023.pdf
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