Un’applicazione dell’invariante di Eulero per le figure del piano: un modo per fondere geometria, combinatoria e topologia
Nel piano disegniamo n rette. In quante regioni, finite o infinite, esse dividono il piano? E qual è il numero massimo di tali regioni?
Questo problema, risolto nel 1827 da Jakob Steiner (1796–1863), è stato già affrontato in precedenza in una forma molto concreta, pensata per studenti della scuola secondaria di secondo grado: il massimo numero di parti in cui può essere divisa una pizza mediante n tagli.
Lo riprendiamo ora con l’obiettivo di fornirne una dimostrazione più rigorosa, ma comunque accessibile agli studenti.
L’interesse didattico di questo approccio risiede nell’uso dell’invariante di Eulero come strumento di conteggio e di controllo strutturale, capace di collegare in modo naturale geometria, combinatoria e topologia.
L’argomentazione proposta segue da vicino una dimostrazione presentata da
Nathan Hoffman nell’articolo Partitioning of the Plane by Lines, pubblicato su The Mathematics Teacher (1975).
Nel piano, l’analogo della formula di Eulero per i poliedri assume la forma:
V – S + R = 1,
\]
dove V è il numero dei vertici, S il numero degli spigoli ed R il numero delle regioni.
Esaminiamo la figura 1, nella quale sono disegnate quattro rette
l1, l2, l3, l4, e consideriamo l’effetto della rotazione della retta l1
attorno al punto A fino a renderla parallela a l4.
In questo caso la regione 8 scompare.
Consideriamo inoltre l’effetto della traslazione della retta l4 fino a farla passare per A, in modo che essa risulti concorrente con l1 e l2. In tal caso è la regione 4 a scomparire.
Queste osservazioni suggeriscono che, affinché il numero di regioni sia massimo, è necessario che:
- nessuna terna delle rette date sia concorrente;
- nessuna coppia delle rette date sia parallela.
La figura 1 rappresenta un esempio di questa situazione nel caso di quattro rette; in tale configurazione il numero di regioni è 11.
Consideriamo ora n rette nel piano che soddisfano entrambe le condizioni precedenti. Poiché nessuna coppia di rette è parallela, è possibile tracciare una circonferenza sufficientemente grande da contenere tutti i punti determinati dalle intersezioni delle coppie di rette. Chiamiamo nodo ogni punto che è intersezione di una coppia di rette, e punto di bordo ogni punto comune a una retta e alla circonferenza. I punti di bordo così individuati determinano un poligono convesso, come mostrato nella figura 2. La figura ottenuta è composta da vertici (nodi e punti di bordo), spigoli e regioni. Ogni coppia di rette determina un unico nodo; il numero di tali punti è quindi \(\binom{n}{2}\).
Ogni retta determina inoltre due punti di bordo, per un totale di \(2n\) punti. Ne segue che il numero complessivo dei vertici è
V = \binom{n}{2} + 2n.
\]
Per determinare il numero degli spigoli, osserviamo che in ciascun nodo concorrono quattro spigoli, mentre in ciascun punto di bordo ne concorrono tre. Tuttavia, contando gli spigoli a partire dai vertici, ogni spigolo viene contato due volte, poiché concorre in due vertici. Si ha pertanto:
2S = 4\binom{n}{2} + 3(2n),
\]
da cui segue:
S = 2\binom{n}{2} + 3n.
\]
Applicando ora l’invariante di Eulero nella forma \(V – S + R = 1\), otteniamo
R = 1 – V + S.
\]
Sostituendo le espressioni trovate per \(V\) e \(S\), si ricava
R = 1 – \binom{n}{2} – 2n + 2\binom{n}{2} + 3n,
\]
ossia
R = 1 + \binom{n}{2} + n.
\]
Nel caso n = 4 si ottiene
R = 1 + \binom{4}{2} + 4 = 11,
\]
in accordo con il numero di regioni mostrato nelle figure considerate.
Poiché il numero di regioni all’interno del poligono costruito coincide con il numero di regioni in cui le rette dividono il piano, possiamo così rispondere alla domanda iniziale: il numero massimo di regioni in cui n rette possono dividere il piano è
1 + \binom{n}{2} + n.
\]
Come nel caso dei tagli di una pizza, il risultato ammette una lettura ricorsiva; l’invariante di Eulero ne fornisce una giustificazione una giustificazione più teorica, unitaria e rigorosa.
COMMENTS